Qué sabemos número $n\gt 5$ sin doble prime $n\lt q\lt 2n$?

Question

Esto es esencialmente una Bertrand postulado de la versión para habitación de los números primos. Estoy interesado en una muestra explícita y grandes cotas inferiores para él, porque de esta respuesta de la mina. En los comentarios a continuación la respuesta, es muestra de que no hay tal $n$ bajo $8\times 10^{15}$.

Un algoritmo eficiente sería el siguiente: tomar un punto inicial $m$ para que Bertrand postulado para el doble de los números primos es verdadera (es decir, $13$). Encontrar el mayor de los primos gemelos $p\lt 2n$. El nuevo punto inicial es $p$. Recorrer.

Un ejemplo claro de tal $n$ causaría una gran brecha $\approx n$. Aunque parece muy poco probable para $n$ a existir, una prueba permanece lejos de la realidad, así que estoy interesado en un esfuerzo computacional.

No sabemos $n\gt 5$ sin doble prime $n\lt q \lt 2n$? Si no, ¿cuál es la mejor conocida límite inferior?

Answer 1

Todavía no podemos demostrar que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos, así que ciertamente no se puede demostrar que hay un doble prime en (n, 2n). Pero es sin duda cierto. De hecho, entre n y 2n esperamos que se acerca $Cn/\log^2 n$ doble de los números primos para alguna constante positiva $C$.

Si usted mira en el peor de los casos, considerar A113275: Kourbatov encontró que el gemelo primer 1121784847637957 fue seguido por una larga brecha de la no-twin de los números primos que cualquier gemelo más pequeño primo, pero la distancia a la siguiente doble prime era sólo 23382. Eso es mucho más pequeño que el 1121784847637957 tendría que hacer el doble primer Bertrand fallar!

Utilizando el mismo enfoque como Michael Stocker pude comprobar que no hay excepciones a a $10^{120}.$

Edit: he ampliado el rango de a $10^{262}$ y ha probado todos los primalities. Tiempo requerido fue un par de horas.

Answer 2

Se puede llegar muy lejos con muy poco esfuerzo. Creo que un ejemplo para hacer su algoritmo más claro no estaría mal. Si tenemos un doble-prime p,p+2, para cada n en el intervalo [((p+2)+1)/2 , p-1] hay (al menos) uno de los gemelos-prime en [n,2n], es decir, p,p+2.

Sabemos que el 17 y el 19 de formar un doble prime. Para cada n en [10,16] satifies "Bertrands postulado para el doble de los números primos" Así que la próxima doble-primer queremos para encontrar debe generar un Intervalo que comienza no antes de las 17. Así que queremos ((p+2)+1)/2 < 18. Ahora buscamos el mayor de los gemelos primer que satisface de desigualdad. Nos encontramos con el twin-primer 29,31 y el Intervalo [16,28] --- 41,43 ; [22,40] --- 71,73 ; [37,70] --- 137,139; [70,136] --- ......

Yo deje mi pc compute para sólo un par de minutos sin mucho optimización y llegó a los 96 dígitos twinprim 65401729995203484466533471060061363152550275078004047522007054662124597261449032607389217013721 (+2)