Esta es una pregunta que se me pide en la sección de matemáticas, pero creo que se puede conseguir más atención aquí. Estoy trabajando en un proyecto dedicado a la cuantificación de la matriz de conmutación de los modelos. En el formalismo apropiado, este problema se reduce a una cuantificación en una curva el espacio, el espacio de los desplazamientos de las matrices. La receta general para la cuantificación de la curvatura del espacio implica la ambigüedad de la Hamiltoniana operador proporcional a el escalar de curvatura de la curva el espacio - de ahí mi pregunta.
Un conjunto de $p$ desplazamientos $n\times n$ hermitian matrices $X^{\mu}$$\mu=1,\dots p$, está parametrizada en términos de un conjunto de $p$ diagonal de las matrices de $\Lambda^{\mu}$ y una matriz unitaria $U$ a través de:
$X^{\mu}=U\,\Lambda^{\mu}\,U^{\dagger}~~$ $~\mu=1\dots p$,
claramente no todos los grados de la U de contribuir a este parametrisation, por ejemplo, un reparametrisation $U'= D\,U$ donde $D$ es una diagonal unitaria de la matriz resultado sería el mismo conjunto de matrices que conmutan. En otras palabras, sólo los elementos del cociente del espacio de $U(n)\,/\,U(1)^n$, que es la máxima bandera colector $F_n$, contribuir a la parametrisation. La métrica de la curva resultante del colector puede ser calculado como un pull-back de la métrica en el espacio de hermitian matrices se define como:
$ds_{X}^2=Tr\,\left( dX^{\mu}dX^{\mu}\right) $ ,
Usando ese $U^{\dagger}d X^{\mu} U=d\Lambda^{\mu}+[\theta,\Lambda^{\mu}]~~$ donde $\theta$ es el Maurer-Cartan forma $\theta=U^{\dagger}dU$, uno puede escribir la inducida por la métrica como:
$ds^2=\sum\limits_{i=1}^n(d\vec\lambda_i)^2+2\sum\limits_{i<j}(\vec\lambda_i-\vec\lambda_j)^2\theta_{ij}\bar{\theta}_{ij}~~$ donde $~~\vec \lambda_i =(\Lambda^1_{ii},\dots,\Lambda^p_{ii})$ .
Ahora tengo la necesidad de curvatura de Riemann de la anterior métrica. Parece que es conveniente trabajar en tetrad formalismo, el uso de tétradas $E_{ij}=|\vec\lambda_i-\vec\lambda_j|\,\theta_{ij}$$i<j$. El problema es que $d E_{ij}$ ahora contendrá un término proporcional a $(\theta_{ii}-\theta_{jj})\wedge\theta_{ij}$ y desde $\theta_{ii}$ no son parte de la base de que el giro de la curvatura no se puede escribir fácilmente sin el uso de la explícita parametrisation de $U(n)$. Intuitivamente, sabemos que el escalar de curvatura debe depender sólo de la lambdas ($\vec\lambda_i$), y he comprobado que explícitamente para$SU(2)$$SU(3)$, sin embargo un resultado general parece requerir algunos invariantes manera de expresar la retirada del plazo $(\theta_{ii}-\theta_{jj})\wedge\theta_{ij}$ sobre el submanifold se extendió por el fuera de la diagonal $\theta$'s.
Me preguntaba si los matemáticos han explorado el colector de desplazamientos de hermitian matrices. De hecho, incluso una referencia a un conveniente parametrisation de la máxima bandera colector $F_n$ sería de gran ayuda para mí en la obtención de una expresión general para el escalar de curvatura. Sugerencias o comentarios son bienvenidos.
