Encontrar $f(x,y )$ tal que $f_{x},f_{y},f_{yx}$ son continuos,sino $f_{xy}$ no es

Question

Deje $f$ ser una función de dos variables,vamos a$(a,b)$ ser un punto y dejan $D$ ser un disco abierto con centro de $(a,b)$.Suponga que $f$$\mathcal C^{1}$$D$, e $f_{yx}$ existen en $D$.Además ,la mezcla de la segunda derivada parcial $f_{yx }$ es continua en a $(a,b)$,es el otro mixto segunda derivada parcial $f_{xy }$ continua en $(a,b)?$

Creo que debe haber algún contraejemplo a negarlo,traté de encontrar. ¿Tienes algunos buenos ejemplos en contra?

Answer 1

En Dieudonné los Elementos de Análisis, volumen 1, encontrarás un ejercicio que establece que si $f$ $C^1$ $f_{xy}$ existe y es continua en un conjunto abierto $U$, $f_{yx}$ existe y es igual a $f_{xy}$$U$. (Así que, por supuesto, $f_{xy}$ es continua).

He aquí un esbozo de la prueba. Como en la prueba usual de que un $C^2$ función tiene igual mixto derivadas parciales, se define la segunda diferencia de la función $$\Delta(h,k) = f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b).$$ Mediante la aplicación de la costumbre valor medio el teorema de $$g(t)=f(t,b+k)-f(t,b),$$ vemos que $\Delta(h,k)=\big(f_x(\xi,b+k)-f_x(\xi,b)\big)h$ algunos $\xi$$a$$a+h$. De ello se desprende que $\Delta(h,k)=f_{xy}(\xi,\eta)hk$ algunos $\eta$$b$$b+k$. Debido a $f_{xy}$ es continua en a $(a,b)$, podemos inferir que, para cualquier $\epsilon>0$,$\delta>0$, de modo que siempre que $|h|,|k|<\delta$ hemos $$\big|\Delta(h,k)-f_{xy}(a,b)hk\big|<\epsilon|hk|.$$

Ahora consideremos $q(t)=f(a+h,t)-f(a,t)$ y reescribir $\Delta(h,k) = q(b+k)-q(b) = q'(\tau)k$ algunos $\tau$$b$$b+k$. Esto nos dice que $\Delta(h,k)=\big(f_y(a+h,\tau)-f_y(a,\tau)\big)k$, y así, por $0<|h|,|k|<\delta$ hemos $$\left|\frac{\Delta(h,k)}{hk}-f_{xy}(a,b)\right| = \left|\frac{f_y(a+h,\tau)-f_y(a,\tau)}h-f_{xy}(a,b)\right|<\epsilon.$$ Dejando $k\to 0$ (por lo $\tau\to b$) y el uso de la continuidad de las primeras derivadas parciales, obtenemos $$\left|\frac{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)}h-f_{xy}(a,b)\right|\le\epsilon,$$ desde que llegamos a la conclusión de que $f_{yx}(a,b)=f_{xy}(a,b)$, como se desee.

Nota que para probar la igualdad de las parciales mixtas en $(a,b)$ utiliza sólo la continuidad de la $f_{xy}$ a $(a,b)$. :)

Tristemente, sin embargo, interesante, esto deja abierta la pregunta inicial acerca de si $f_{yx}$ es continua en a $(a,b)$ saber que $f_{xy}$ es continua en a $(a,b)$.

EDIT: Se sigue de la Categoría de Baire Teorema de que si $F$ es diferenciable, el conjunto de discontinuidades de $F'$ es de primera categoría; en particular, no puede ser un denso conjunto abierto. Esto todavía no acaba de responder a la pregunta, supongo. No es necesario que $f_{xy}$ se continua con el objeto de $f_{yx}$ a la igualdad de $f_{xy}$ (o a ser definido por otras razones), pero seguro que parece poco probable que exista algún contraejemplo. A alguien más?