La simplicidad de $\operatorname{Der} \left(\mathbb F_p [x_1, \dots, x_n]/ (x_1^p,\dots, x_n^p )\right)$

Question

Necesito demostrar que la Mentira de álgebra define como: $W_{n} = \operatorname{Der} \left(\mathbb F_p [x_1, \dots, x_n ] / (x_1^p, \dots, x_n^p )\right)$, cuando se $(x_1^p, \dots, x_n^p )$ es el ideal generado a partir de la monomials $x_1^p, \dots, x_n^p$ e al $p$ es primo, es simple.

He intentado de varias estrategias, tales como tomar un trivial ideal y tratando de demostrar que va a ser todo, pero no podía hacerlo.

Además, sé que esta Mentira álgebra es acotado, y he intentado utilizar este hecho, pero sin éxito.

Les agradecería mucho la ayuda!

Gracias.

Answer 1

Dado que este es etiquetado como tarea, aquí están los consejos. Te voy a dar algunos postes guía para el caso de $n=1$.

Paso 1: Cada derivación de $\mathbb{F}_p[x]/x^p$ es de la forma $f \mapsto u f'$, para algunas de las $u \in \mathbb{F}_p[x]/x^p$. Aquí $f'$ es el derivado del estándar.

Llame a esta derivación $u \partial_x$.

Paso 2: ¿Cuál es el colector $[\partial_x, u \partial_x]$?

Paso 3: Deje $I$ ser un ideal distinto de cero, por lo $I \ni u \partial_x$ para algunos distinto de cero $u$. A continuación, $I$ contiene $[\partial_x, u \partial_x]$, $[[\partial_x, [\partial_x, u \partial_x]]$, etcétera. Mostrar a partir de esto que $\partial_x \in I$.

Paso 4 Ahora, con $I$ como en el anterior, muestran que $I$ es todo Mentira álgebras de derivaciones.

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Bien, ahora para más de una variable.

Paso 1' Cada derivación es de la forma $g \mapsto \sum u_i \partial f/\partial x_i$, para algunas de las $n$-tupla de polinomios $u_i$.

Vamos a llamar a esta derivación $\sum u_i \partial_i$.

Paso 2' ¿Qué es $[ \partial_j, \sum u_i \partial_i]$?

Paso 3' Entonces, ¿qué tipo de elemento que podemos concluir que cada ideal que contiene?

Paso 4' Terminar la prueba.