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Una forma cerrada de $\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\frac{x^2\cos x}{\cosh 2x-\cos x}-\frac{2x^2}{e^{4x}-2e^{2x}\cos x+1}\right]\,dx$

Estoy buscando una forma cerrada de esta integral

\begin{equation} \frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\frac{x^2\cos x}{\cosh 2x-\cos x}-\frac{2x^2}{e^{4x}-2e^{2x}\cos x+1}\right]\,dx \end{equation}

Puedo volver a escribir la integral en \begin{equation} \int_0^\infty\frac{x^2(e^{2x}\cos x-1)}{e^{4x}-2e^{2x}\cos x+1}\,dx \end{equation} Pero estoy atascado para el siguiente paso. Tengo un fuerte sentimiento de la integral que involucra gamma o beta de la función, pero soy incapaz de demostrarlo. Podría alguien, por favor me ayudan? Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

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David H Puntos 16423

Edit: La respuesta anterior fue malo, ya que comenzó con la incorrecta expansión de la serie.

La correcta trigonométrica de la serie es la siguiente:

$$\frac{1}{(p^2-1)}+\frac{p^2+1}{(p^2-1)}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos{kx}}{p^k}=\frac{p\cos{x}}{p^2-2p\cos{x}+1};~where~p>1,$$

y

$$\frac{1}{p^2-1}+\frac{2}{p^2-1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos{kx}}{p^k}=\frac{1}{p^2-2p\cos{x}+1};~where~p>1.$$

Restando las dos le da,

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos{kx}}{p^k}=\frac{p\cos{x}-1}{p^2-2p\cos{x}+1};~where~p>1.$$

Con $p=e^{2x}$,

$$\begin{align} \int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,\frac{x^2(e^{2x}\cos{x}-1)}{e^{4x}-2e^{2x}\cos{x}+1} &=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,\sum_{k=1}^{\infty}x^2e^{-2kx}\cos{kx}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,x^2e^{-2kx}\cos{kx}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{\partial^2}{\partial k^2}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,\frac14e^{-2kx}\cos{nx}\right]_{n=k}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{\partial^2}{\partial k^2}\frac14\cdot\frac{2k}{4k^2+n^2}\right]_{n=k}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{4k(4k^2-3n^2)}{(4k^2+n^2)^3}\right]_{n=k}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{125k^3}\\ &=\frac{4}{125}\zeta{(3)}. \end{align}$$

Gracias a Tunk-Fey para señalar el valor erróneo tenía de antemano.

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