La interpolación de la analítica de la función de la unidad de disco

Question

Estado pensando acerca de este problema durante mucho tiempo sin ningún progreso, alguien puede ayudarme?

Considere la posibilidad de un almacén de la función $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ con la siguiente propiedad : para cada secuencia finita $z_1, z_2, \dots z_n \in \mathbb{D}$, existe una analítica de la función $g: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$ tal que $g(z_j)=f(z_j)$$j=1,2,\dots, n$. Mostrar que $f$ sí es analítica.

Gracias

Answer 1

Deje $z_n$ ser una secuencia con $z_n \to z_0 \in \mathbb D$. Utilizando el Cauchy integral de la fórmula, hay constantes $K$ $\epsilon > 0$ de manera tal que cualquier analítica de la función $g: {\mathbb D} \to {\mathbb D}$ ha $$\left| \dfrac{g(z) - g(z_0)}{z - z_0} - g'(z_0) \right| \le K |z - z_0| \text{ para } |z - z_0| < \epsilon $$ y así, por $n$ $m$ lo suficientemente grande, $$ \left|\dfrac{g(z_n) - g(z_0)}{z_n -z_0} - \dfrac{g(z_m) - g(z_0)}{z_m - z_0}\right| \le K (|z_n - z_0| + |z_m - z_0|)$$ Ya que hay un $g$ con $g(z_0) = f(z_0)$, $g(z_n) = f(z_n)$ y $g(z_m) = f(z_m)$, lo mismo es cierto con $g$ reemplazado por $f$. Pero que dice $\dfrac{f(z_n) - f(z_0)}{z_n - z_0}$ forma una secuencia de Cauchy. Si el límite es $L$, debemos tener $$\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = L$$ es decir, $f$ es diferenciable en a$z_0$$f'(z_0) = L$.

Answer 2

Esta es mi idea: que $\{z_n: n\geq1\}$ ser cualquier contables subconjunto denso de $\mathbb D$. Para cada una de las $n$ deje $g_n$ ser un holomorphic función de $\mathbb D$ a $\mathbb D$ tal que $g_n(z_k)=f(z_k)$$k=1,\dots,n$. A continuación, la secuencia $(g_n)_{n\geq1}$ es uniformemente acotada, de modo que por el teorema de Montel hay un holomorphic función de $h:\mathbb D\to\mathbb C$ y una larga $(g_{n_k})_{k\geq1}$ tal que $g_{n_k}\xrightarrow{k\to\infty}h$ uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\mathbb D$, e $h$ es holomorphic. Si $m\geq1$, para todos los $k$ tal que $n_k>m$ tenemos $g_{n_k}(z_m)=f(z_m)$. Tomando $k\to\infty$ obtenemos $h(z_m)=f(z_m)$, y por lo $h$ $f$ está de acuerdo en un subconjunto denso de $\mathbb D$.

Deje $z_0\in\mathbb D$ tal que $z_0\ne z_m$ todos los $m\geq1$. Repetimos la construcción anterior, ahora incluyendo a $z_0$ en el subconjunto denso de $\mathbb D$. Obtenemos un holomorphic función de $\tilde h$ definido en $\mathbb D$ tal que $\tilde h(z_m)=h(z_m)=f(z_m)$ todos los $m\geq1$, e $\tilde h(z_0)=f(z_0)$. Por la continuidad de ambos $h$ $\tilde h$ llegamos a la conclusión de que $h=\tilde h$, y por lo $h(z_0)=\tilde h(z_0)=f(z_0)$, lo que muestra que $h=f$. Estoy equivocado?