Contando los grados de libertad de las ondas gravitacionales como un medidor de campo

Question

Sean Carroll tiene una nueva popularización sobre la partícula de Higgs, La Partícula al Final del Universo. Carroll es un relativista, y me gustó ver cómo se presentan las cuatro fuerzas de la naturaleza, de forma sinóptica, sin una gran cantidad de matemáticas. De una cosa estoy teniendo problemas para imaginar, sin embargo, es su tratamiento de la gravedad como un medidor de campo. Primero permítanme exponer lo que yo entiendo es la receta para la introducción de un nuevo medidor de campo y, a continuación, voy a tratar de aplicarlo. Yo no soy un físico de partículas, así que probablemente voy a hacer un montón de errores aquí.

La traducción de la popularización en un físico de la terminología, la receta parece ser que empezamos con unos discretos simetría, expresada por una $m$-dimensiones Mentira álgebra, cuyos generadores son $T^b$, $b=1$ a $m$. Hacer la simetría en un local (calibre) simetría significa la construcción de una matriz unitaria $U=\exp[ig \sum \alpha_b T^b]$ donde $g$ es una constante de acoplamiento y el real $\alpha_b$ son funciones de la $(t,x)$. Si $U$ es ser unitario, a continuación, en una representación de la matriz, los generadores deben traceless y hermitian. Si usted ya tiene una idea de lo que es la representación de la matriz, se puede determinar el $m$ por averiguar cuántos grados de libertad de un traceless, hermitian de la matriz debe tener en el número de dimensiones. Para cada una de las $b$ a partir del 1 de a $m$, se obtiene un campo de vectores $A^{(b)}$, que tiene dos reales d.f. en lugar de cuatro.

La aplicación de esta receta para el electromagnetismo, la discreta simetría está a cargo de la conjugación. Eso es un 1-dimensional álgebra de la Mentira, de modo que se obtiene un campo de $A$, que es el vector potencial de E&M, y sus dos d.f. corresponden a los dos estados de helicidad de los fotones.

Aplicación a la fuerza fuerte, la discreta, la simetría es la permutación de colores. Que va a ser representada por una matriz de 3x3. El traceless, hermitian matrices 3x3 son una de las 8 dimensiones del espacio, por lo que obtener 8 gluones campos.

Tan lejos, tan bueno. Ahora, ¿cómo diablos se aplica esto a la gravedad? Carroll identifica la simetría con la invariancia de Lorentz, por lo que el grupo de simetría sería ASÍ(1,3), que es una de las 6 dimensiones de la Mentira de álgebra. Que parecen crear seis campos vectoriales, que sería de 12 d.f. ¿Esto se corresponden de alguna manera a la descripción clásica de las ondas gravitacionales? Si usted expresa una onda gravitacional como $h^{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}-\eta^{\alpha\beta}$, $h$ traceless y simétrica, se obtiene 6 d.f...?

Answer 1

Primero de todos, Sean Carroll, es un relativista por lo que su tratamiento de la diffeomorphism la simetría como un indicador de la simetría debe ser aplaudido, porque es el estándar moderno de vista preferido por los físicos de partículas – su origen está vinculado a nombres como Steven Weinberg, es promovido por los físicos como Nima Arkani-Hamed, y naturalmente incorporados en la teoría de cuerdas así que, visto como "obvio" por todos los teóricos de cuerdas. En este sentido, Carroll desecha el obsoleta de la "cultura" de los relativistas. Hay algunos otros "relativistas" que irracionalmente se quejan de que esto no debería ser permitido para llamar la métrica tensor de "otro medidor de campo" y el diffeomorphism grupo como "otro indicador de la simetría" aunque esto es exactamente lo que estos conceptos son.

En segundo lugar, una simetría expresada por una Mentira álgebra no puede ser "discretos", por definición: es continua. Mentira grupos son continuos los grupos; es su definición. Y sólo continuo grupos son capaces de hacer todo polarizaciones de las partículas no físico. Es plausible que un libro popular reemplaza el continuo grupos discretos que son más fáciles de imaginar por los laicos, pero este servidor no se supone que para ser "popular" en este sentido.

En tercer lugar, cuando usted dice que si $U$ es unitaria, el generador tiene que ser Hermitian y traceless, es parcialmente incorrecto. Unitarity de $U$ significa que la hermiticity de los generadores $T^a$, pero el tracelessness de estos generadores es una condición diferente, a saber, la propiedad de que la $U$ es "especial" (que tiene el factor determinante igual a uno). El tracelessness es lo que reduce el $U(N)$$SU(N)$, unitaria especial unitaria.

Cuarto, y está relacionado con el segundo punto, "carga de la conjugación" no es cualquier calibre principio del electromagnetismo en cualquier forma. El electromagnetismo se basa en la continua $U(1)$ grupo gauge. Este grupo tiene un exterior automorphism – un grupo de automorfismos es${\mathbb Z}_2$–, pero nunca estamos poniendo estos elementos del grupo discreto en un exponente.

Quinto, del mismo modo, QCD no está basado en la simetría discreta de las permutaciones de los colores, pero en los continuos $SU(3)$ grupo especial de transformaciones unitarias de las 3 dimensiones del espacio de colores. Porque ninguna de las cosas que escribió acerca de la no-gravitacional caso fue bastante correcto, no debería ser sorprendente que usted tiene que encontrar un montón de contradicciones aparentes en el caso de la gravedad así porque la gravedad es de hecho más difícil en algún sentido.

Sexto, $SO(3,1)$ no está relacionado con el diffeomorphism de manera directa. Indudablemente, no es lo mismo. Este grupo es el grupo de Lorentz y en el GR, usted puede elegir un formalismo basado en tetradas/vielbeins/vierbeins donde se convierte en un local de simetría debido a la orientación de la tetrad puede ser girado por una transformación de Lorentz de forma independiente en cada punto del espacio. Pero esto es sólo un extra de calibre simetría que hay que añadir si trabaja con tétradas – es una simetría que existe en la parte superior de la diffeomorphism simetría y esta simetría es diferente y "no-local", ya que cambia el espacio-tiempo de las coordenadas de los objetos o de los campos, mientras que todas las de Yang-Mills simetrías de arriba e incluso el local de Lorentz grupo en el inicio de este párrafo están actuando localmente, dentro del campo espacio asociado con un punto fijo del espacio-tiempo. (El hecho de que diffeomorphisms de ninguna manera "se reducen" a los locales de Lorentz grupo es un rudimentario conocimiento de que es mal entendido por todas las personas que hablan sobre la "graviweak unificación" y similares físicamente defectuoso de los proyectos.) No voy a usar con tétradas en el párrafo siguiente, de modo que el medidor de simetría será sólo diffeomorphisms y no habrá ningún local de Lorentz grupo como parte de la medida de la simetría.

El diffeomorphism simetría es generada localmente por las traducciones, no de la transformación de Lorentz, y los parámetros de estos 4-traducciones dependen de la posición en las 4 dimensiones de espacio-tiempo. Esto es cómo un general infinitesimal diffeomorphism puede ser escrito. Si no hay simetrías gauge, $g_{\mu\nu}$ 10 off-shell grados de libertad, como 10 campos escalares. Sin embargo, cada generador de hace dos polarizaciones no físico, como en el caso de QED o QCD arriba (donde el 4 polarizaciones de un vector se reduce a 2; en QCD, todos estos números se multiplicaron por 8, la dimensión de la adjoint representación del grupo gauge, $SU(3)$ etc.). Porque la traducción general por punto tiene 4 parámetros, uno elimina $2\times 4 = 8$ polarizaciones y él se queda con $10-8=2$ física de la polarización de la onda gravitacional (o gravitón). Las bases habituales elegido en este 2-dimensional espacio físico es un diestro circular más zurdo polarizados de la circular de la onda; o el "lineal" de las polarizaciones que estirar y encoger el espacio en horizontal/vertical de la dirección además de la onda de hacer lo mismo en las instrucciones giradas 45 grados:

Este conteo fue de hecho un poco de trampa pero no funciona en la general de la dimensión. Para hacer el recuento correctamente y de forma controlada, uno tiene que distinguir las limitaciones de la dinámica ecuaciones y ver cómo muchos de los modos de un avión de la onda (onda gravitacional) se ven afectados por un diffeomorphism. En general, la dimensión de $d$, se puede observar que el tensor de la $\Delta g_{\mu\nu}$ puede ser descrito, después de hacer el derecho diffeomorphism, por $h_{ij}$ $d-2$ dimensiones y, además, la traza $h_{ii}$ puede ponerse a cero. Esto nos da $(d-2)(d-1)/2-1$ física de las polarizaciones de la gravitón. En $d=4$, esto se obtiene de 2 física de las polarizaciones de la gravitón. Una onda gravitacional que se mueve en el 3er dirección es descrito por $h_{11}=-h_{22}$$h_{12}=h_{21}$, mientras que los otros componentes de $h_{\mu\nu}$ puede ser hecho a desaparecer por un indicador de la transformación (diffeomorphism), o que están obligados a desaparecer por las ecuaciones de movimiento o de las restricciones vinculadas a la misma diffeomorphism. Moralmente hablando, es cierto que eliminamos dos grupos de 4 grados de libertad, como he indicado en el descuidado de cálculo que pasar para llegar al resultado correcto. Tenga en cuenta que $$\frac{d(d+1)}2 -2d = \frac{(d-2)(d-1)}2-1 $$ Tengo que destacar que estos es un estándar de recuento de la "linealizada de la gravedad" y es el mismo procedimiento para contar como el recuento físico de las polarizaciones después de la diffeomorphism "medidor de simetría" – sólo el idioma que incluyan simetrías gauge" es más de física de partículas-orientado.