¿Qué tipo de "descubrimientos" matemáticos han permitido a la humanidad construir los ordenadores modernos?

Question

Después de leer el muy interesante Ejemplos de descubrimientos matemáticos que se mantuvieron en secreto Se me ocurrió algo: la mayoría de los descubrimientos matemáticos parecen haberse hecho hace siglos, y con Pascal y Leibniz ya teníamos máquinas que podían sumar y multiplicar (algunos los consideran los primeros ordenadores). Por supuesto, los ordenadores modernos necesitaban electricidad y señales eléctricas que pudieran convertirse en 1 y 0, pero de eso disponemos desde el siglo XIX. Los primeros ordenadores también se construyeron con transistores, pero esos los tenemos desde la década de 1940.

Los ordenadores modernos no son, en el fondo, tan diferentes de los primeros ordenadores que seguían la arquitectura Von Neumann (con su unidad aritmético-lógica). Es decir: saben cómo mover datos de un lugar a otro, cómo sumar y cómo multiplicar, así como realizar operaciones lógicas (y, o, xor, no), y de ahí sacan todas las demás operaciones (algunos pueden restar, dividir y hacer algunas otras cosas, pero es todo muy primitivo en ese sentido). Por supuesto, los ordenadores modernos trabajan a un nivel mucho más alto que sus predecesores: mientras que al principio había que programar usando comandos compuestos de 0's y 1's o, si tenían suerte, usando el lenguaje ensamblador, ahora tenemos lenguajes de programación de alto nivel que (por decirlo de forma aproximada) encierran un montón de esos comandos simples en un comando de alto nivel.

Y cuando veo gráficos bonitos en videojuegos, programas como photoshop, renderizado 3D, programas CAD y demás, siempre pienso en todo el material de cálculo que aprendí y en cómo hay que aplicarlo para conseguir esos maravillosos resultados.

Y aquí es donde surge mi pregunta: todo este conocimiento matemático ha estado a nuestra disposición desde mucho antes de que existieran los ordenadores. Entonces, ¿hay algún descubrimiento matemático moderno que haya permitido el gran salto que dimos desde los primeros ordenadores que tuvimos en los años 40 hasta lo que tenemos ahora? ¿O tal vez las viejas matemáticas empezaron a aplicarse de forma diferente en algún momento?

Answer 1

Los fundamentos matemáticos de la informática moderna los empezó a sentar Kurt Gödel con su teorema de la incompletitud (1931). En este teorema, demostró que había límites a lo que se podía demostrar y refutar dentro de un sistema formal. Esto llevó a Gödel y a otros a trabajar para definir y describir estos sistemas formales, incluyendo conceptos como las funciones mu-recursivas y las funciones definibles por lambda.

En 1936, Alan Turing y Alonzo Church introdujeron, de forma independiente y también conjunta, la formalización de un algoritmo, con límites sobre lo que se puede calcular, y un modelo "puramente mecánico" para la computación. Esto se convirtió en la tesis Church-Turing, una hipótesis sobre la naturaleza de los dispositivos de cálculo mecánico, como los ordenadores electrónicos. La tesis afirma que cualquier cálculo posible puede ser realizado por un algoritmo que se ejecute en un ordenador, siempre que se disponga de tiempo y espacio de almacenamiento suficientes.

En 1936, Alan Turing también publicó su trabajo seminal sobre las máquinas de Turing, una máquina de computación digital abstracta que ahora se conoce simplemente como la máquina universal de Turing. Esta máquina inventó el principio del ordenador moderno y fue la cuna del concepto de programa almacenado que utilizan casi todos los ordenadores actuales. Estas máquinas hipotéticas fueron diseñadas para determinar formalmente, de forma matemática, lo que se puede calcular, teniendo en cuenta las limitaciones de la capacidad de cálculo. Si una máquina de Turing puede completar la tarea, se considera Turing computable o, más comúnmente, Turing completo.

Hasta la década de 1930 y durante la misma, los ingenieros eléctricos eran capaces de construir circuitos electrónicos para resolver problemas matemáticos y lógicos, pero la mayoría lo hacía de forma ad hoc, sin ningún rigor teórico. Esto cambió con la publicación de la tesis de maestría de Claude Elwood Shannon en 1937, A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits. Mientras asistía a una clase de filosofía, Shannon conoció el trabajo de Boole y se dio cuenta de que podía utilizarse para organizar los relés electromecánicos (utilizados entonces en los conmutadores telefónicos) para resolver problemas lógicos. Este concepto, de utilizar las propiedades de los interruptores eléctricos para hacer lógica, es el concepto básico que subyace en todos los ordenadores digitales electrónicos, y su tesis se convirtió en el fundamento del diseño práctico de circuitos digitales cuando se dio a conocer ampliamente entre la comunidad de ingenieros eléctricos durante y después de la Segunda Guerra Mundial.

Shannon fundó el campo de la teoría de la información con su trabajo titulado A Mathematical Theory of Communication (Teoría matemática de la comunicación), que aplicaba la teoría de la probabilidad al problema de cómo codificar mejor la información que un emisor quiere transmitir. Este trabajo es uno de los fundamentos teóricos de muchas áreas de estudio, como la compresión de datos y la criptografía.

Answer 2

Las piezas se cambian todo el tiempo. La matemática de los códigos de corrección de errores se utiliza para detectar y corregir estos errores. Véase, por ejemplo, https://cs.stackexchange.com/questions/6480/commonly-used-error-correcting-codes

Answer 3

Puede que no sea una respuesta directa, pero cuando has hablado de los juegos en 3D y la edición de imágenes o vídeos, me ha venido esto a la cabeza. Y puede que tú también lo sepas, ya que se ha escrito mucho sobre ello y no es un gran secreto.

"Computing Fast Inverse Square root using Integers" es probablemente la razón por la que los juegos 3D existen hoy en día y son tan realistas como pueden serlo. Se utiliza para calcular un montón de cosas gráficas como los reflejos de la luz y las sombras y para renderizar los entornos más rápidamente. Puedes leer sobre ello aquí y aquí . Y al igual que yo, mucha gente todavía no entiende por qué o cómo funciona exactamente. Enlace a una pregunta similar

Así que cuando preguntes "Todo este conocimiento matemático ha estado a nuestra disposición desde mucho antes de que existieran los ordenadores. Entonces, ¿hay algún descubrimiento matemático moderno que haya permitido el gran salto que dimos desde los primeros ordenadores que tuvimos en los años 40 hasta lo que tenemos ahora?"

Este es el tipo de inventos que hicieron que los ordenadores hicieran mucho más de lo que eran capaces en los años 40. Estoy de acuerdo en que las mejoras del hardware son realmente importantes, pero en mi opinión, cuando se pueden hacer cálculos más rápidos con menos recursos es cuando se avanza en la informática.