¿Cómo aritmética modular trabajo - último teorema de Fermat cerca de misses?

Question

Esta pregunta sobre el Último Teorema de Fermat conatos utiliza la aritmética modular (la conversión de todos los términos a mod 100) para mostrar por qué el $$3987^{12}+4365^{12}\neq4472^{12}.$$

Sólo he venido a través de aritmética modular, y el método se ve muy limpio. Pero estoy perplejo en cuanto a por qué esto funciona. En otras palabras, creo que me estoy preguntando si una ecuación es verdadera en forma modular, ¿cómo sabemos que es verdad ordinario entero? Disculpas de antemano si esto es realmente una pregunta tonta.

Answer 1

Ya que eres nuevo a la aritmética modular, aquí es una explicación muy simple de usar un par de ejemplos.

Hay tres tipos de aritmética modular que ya están familiarizados con los de grado de la escuela: mod 10, mod 5, y mod 2.

Mod 2 sólo se refiere a los números pares y números impares. Incluso los números son los que son "iguales" (en realidad "congruente") 0 (mod 2). Los números impares son aquellos que son congruentes a 1 (mod 2).

Para mod 5, deseche todos pero el último dígito de un número, entonces (si es mayor que 4), restar 5 de el resto de los dígitos.

Para mod 10, acaba de tomar el último dígito del número.

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Considere la siguiente ecuación. Es esto cierto?

$5723784602 + 2893649283 = 8617433887$

Usando aritmética modular (específicamente, mod 10) puede descartar todos, pero el último dígito de cada número, y el estado:

$2 + 3 \equiv 7$ (mod 10)

Esto es obviamente falso. Por lo tanto, la ecuación original es falsa.

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¿Qué piensas de la siguiente ecuación?

$234343 \times 23845 = 5587908832$

Usando las reglas que probablemente se enseña en la Escuela primaria, si usted toma cualquier número que termina en un cinco y se multiplica por cualquier cosa, el producto debe terminar en un cinco o un cero. Por lo tanto, esta es falsa.

Podemos afirmar esto con la aritmética modular de la siguiente manera:

$3 \times 0 \equiv 2$ (mod 5)

Obviamente esto es falso. Nada de veces cero debe ser igual a cero.

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Sin embargo, la aproximación inversa no funciona:

$29834620934 + 293840239843 = 17$

Si lo comprobamos con la aritmética modular (mod 10), obtenemos:

$4 + 3 \equiv 7$ (mod 10)

Esto es cierto, pero la ecuación original es falsa.

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En resumen: puede utilizar la aritmética modular para demostrar que una ecuación falsa.

Usted no puede utilizar (en este simplista formulario) para demostrar que una ecuación verdadera.

Answer 2

El punto no es que la "verdadera en forma modular implica cierto en el entero de la forma" (lo cual es falso!). El punto es "false en forma modular implica falso en el entero de la forma".

Como un ejemplo, si $x \equiv y \pmod{6}$ es falso, entonces "no es $k$ tal que $x = 6k + y$" es falso, por lo que "para todos los $k$, $x \not = 6k+y$" es cierto. En particular, la configuración de $k=0$ rendimientos "$x \not = y$".

Answer 3

Tienes la inferencia inversa. Cualquier ecuación de la verdad en números enteros sigue siendo cierto modulo $\,m\,$ cualquier $\,m.\, $ de Hecho, si dos enteros son iguales, decir $\, a= b\,$ $\, a- b = 0 = 0\cdot m\,$ es un múltiplo de a $\,m,\,$ $\, a\equiv b\pmod m,\, $ por la definición de congruencia, es decir. $\,m\mid a-b,\,$ es decir $\,m\,$ divide $\,a-b.$

Lo que hace que este no trivial es que congruencias son las relaciones de equivalencia que son compatibles con la adición y la multiplicación, para modular la reducción preserva la igualdad de entero arbitrario expresiones polinómicas, cf. el Polinomio de la Congruencia de la Regla. Por ejemplo, escribir un entero como un polinomio en radix $10,\,$ dice $\, n = P(10).\,$ mod $9\,$ tenemos $\,\color{#c00}{10\equiv 1}\,$ $\,P(\color{#c00}{10})\equiv P(\color{#c00}1)\equiv $ suma de dígitos de $\,n,\,$, lo que produce una forma rápida de verificación aritmética decimal mediante la comprobación del cálculo de mod $9,\,$ llamado echaba fuera los nueves.

Este se utiliza con frecuencia, por ejemplo, cuando comparamos la paridad de las expresiones, es decir, su remianders mod $\,2,\,$ (por ejemplo, en la irracionalidad de las pruebas de $\sqrt 2),\, $ y también cuando la comprobación de aritmetic mediante la comparación de sus unidades de dígitos, es decir, la comparación de los restos de mod $10,\, $ o cuando echaba fuera los nueves y onces, etc.

Más en general podemos comprobar aritmética de mod $\,n\,$ mediante la comprobación de que el modulo divisores $\,m\,$ $\,n.\,$ (por Encima es el caso especial $\,n =0,\,$ desde los enteros mod $0$ es sólo de los enteros). Si usted hace bastante modular comprueba estos necesarias condiciones son aún suficientes, por ejemplo, ver el Teorema del Resto Chino.

Answer 4

Si una ecuación es verdadera en forma Modular, entonces no es necesariamente cierto en el entero de la forma (e.g $1\equiv 3\pmod 2$ pero $1\ne3.$)

Creo que estás preguntando por qué mostrando que las cosas no son congruentes muestra de que no son iguales, es decir, Que $a\not\equiv b\pmod m\Rightarrow a\ne b.$

Usted puede simplemente escribir la ecuación como $a-b\not | m$ y ya $0|m,$ $a-b\ne 0$ así que hemos terminado.