Las soluciones de $(z-i)^n+(z+i)^n=z^n$ son reales.

Question

Tengo que demostrar que el polinomio $$(z-i)^n+(z+i)^n=z^n $$ sólo tiene soluciones reales. La ecuación es equivalente a
$$ 2(z^n-C_n^2z^{n-2}+C_n^4z^{n-4}-...)=z^n .$$

Answer 1

Definir: $$ g(x) := \cos\left(n\cdot\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) $$ Afirmamos que podemos dividir $\mathbb{R}$ en $n$ intervalos, donde en cada intervalo $g$ se mueve continuamente entre los valores $-1$ y $1$ . Para demostrarlo, dejemos que $f(x):=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . Tenga en cuenta que $f$ aumenta de $-1$ a $1$ como $x$ va de $-\infty$ a $\infty$ . Esto significa que $n\cdot\arccos\left(f(x)\right)$ disminuye de $n\pi$ a $0$ como $x$ va de $-\infty$ a $\infty$ Lo que demuestra nuestra afirmación.

A continuación, defina: $$ h(x) := \frac{1}{2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)^{n} $$ Observamos que $-\frac{1}{2}\lt h\lt \frac{1}{2}$ para todos los reales $x$ . Utilizamos el teorema del valor intermedio para concluir que $h$ se cruza con $g$ en cada uno de los $n$ intervalos mencionados en el párrafo anterior, es decir $g(x)=h(x)$ tiene $n$ soluciones reales.

Dejemos que $x_0\in\mathbb{R}$ sea tal que $h(x_0)=g(x_0)$ . Entonces, fijando $\theta :=\arccos\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+1}}$ obtenemos: $$ \begin{equation} \begin{split} (x_0+i)^n+(x_0-i)^n &=(x_0+i)^n+\overline{(x_0+i)^n} \\ \\ &=2\cdot\Re\left((x_0+i)^n\right) \\ \\&=2\cdot\Re\left(e^{in\theta}\left(\sqrt{x_0^2+1}\right)^n\right)\\ \\ &= 2\cos\left(n\theta\right)\left(\sqrt{x_0^2+1}\right)^n\\ \\ &=x_0^n \end{split} \end{equation} $$ Esto implica que la ecuación original tiene al menos $n$ soluciones reales. Sin embargo, al ser un polinomio de grado $n$ no puede tener más de $n$ soluciones, lo que significa que todas las soluciones deben ser reales.

Answer 2

Considere la función $p_n:\Bbb{R}\to\Bbb{C}$ dado por $$ p_n(x)=(1+ix)^n. $$ El argumento $$ \theta_n(x):=\arg p_n(x)=n\arctan x $$ entonces aumenta de $-n\pi/2$ a $+n\pi/2$ como $x$ aumenta de $-\infty$ a $+\infty$ .

Observación nº 1: En cualquier intervalo, donde $\theta_n(x)$ o bien

• aumenta de $-\pi/2+2k\pi$ a $-\pi/3+2k\pi$ para algún número entero $k$ o
• aumenta de $2k\pi+\pi/3$ a $2k\pi+\pi/2$ ,

existe un $x$ tal que la parte real de $p_n(x)=1/2$ .

Prueba: El valor absoluto $p_n(x)$ es siempre $\ge1$ . Así que si $[a,b]$ es un intervalo de uno de los tipos anteriores, entonces en el extremo correspondiente a un múltiplo impar de $\pi/2$ la parte real de $p_n(x)=0$ . En el otro extremo el coseno del argumento es $1/2$ y por lo tanto la parte real de $p_n(x)\ge1/2$ . La afirmación se desprende de la continuidad.

Observación #2: Si $p_n(x)$ tiene parte real $=1/2$ entonces $z=1/x$ es una solución de la ecuación original.

Prueba: Si $p_n(x)=1/2+it$ entonces $$ (1+ix)^n+(1-ix)^n=p_n(x)+\overline{p_n}(x)=(\frac12+it)+(\frac12-it)=1. $$ Dividiendo esto por $x^n$ da $$ (1/x+i)^n+(1/x-i)^n=(1/x)^n $$ probar la reclamación.

La afirmación se desprende de estas observaciones, el codominio conocido de $\theta_n(x)=n\arctan x$ y el hecho de que $z=0$ es una solución para todos los impar $n$ . Si $n=2m$ es par, entonces hay exactamente $2m$ intervalos del tipo de la primera observación. En cambio, si $n=2m+1$ entonces esos mismos $2m$ Los intervalos se incluyen en el rango de $\theta_n(x)$ y tenemos el cero extra de $z=0$ .

En cualquier caso, hemos encontrado $n$ ceros reales, por lo que no puede haber otros.

Answer 3

Si el argumento de cualquier $z-i$ es decir $\theta$ entonces el argumento de $z+i$ es $-\theta$ que se cancelan entre sí, por lo que el argumento del lado derecho debe ser igual a cero.