Es $\pi/\sqrt{2}$ trascendental?

Question

Yo creo que el $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ es trascendental, pero no estoy seguro acerca de cómo demostrarlo. Si $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ fue algebraicas, existiría un polinomio $P \in \mathbb{Q}[X]$ tal que $P\big( \frac{\pi}{\sqrt{2}} \big) = 0$. Por escritura $P = \displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_{k}X^{k}$, tenemos :

$$ \sum_{\substack{\text{k even} \\[1mm] k = 2p}} a_{2p} \frac{\pi^{2p}}{2^{p}} + \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sum_{\substack{\text{k odd} \\[1mm] k = 2p+1}} a_{2p+1} \frac{\pi^{2p}}{2^p} = 0. $$

Pero no estoy seguro de que ayuda..

Answer 1

Supongamos $\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$ fueron algebraicas. A continuación, $\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{\pi^2}{2}$ sería algebraicas, pero esto significaría $\pi^2$ es algebraica, la cual es una contradicción ya que el $\pi$ es trascendental.

Answer 2

Supongamos que $\alpha:=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ sería una raíz de un $f\in \mathbb Q[X]$.

A continuación, considere la posibilidad de $\mathbb Q(\alpha,\sqrt{2})$. Este es un campo finito de grado por encima del $\mathbb Q$. Desde $\pi$ está contenido también en este campo, $\pi$ debe ser una raíz de un polinomio sobre $\mathbb Q$.

Pero esto sería contradictorio con el hecho bien conocido de que $\pi$ es trascendental.

Answer 3

Un elemental argumento de que $\pi$ trascendental implica $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ trascendental va como esto:

Si $\;\frac{\pi}{\sqrt{2}}\;$ es algebraica, entonces es una raíz para algún polinomio $P(x)$$\mathbb{Q}$.

Esto a su vez implica $\pi$ es una raíz del polinomio $\displaystyle\;Q(x) = P\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)P\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$

La división de $P(x)$ en sus pares e impares partes, no existe $E(x), O(x) \in \mathbb{Q}[x]$ tal que

$$P(x) = E(x^2) + x O(x^2) \quad\implica\quad Q(x) = E\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 - \frac{x^2}{2}O\left(\frac{x^2}{2}\right)^2$$ Esto significa $Q(x)$ también pertenece a $\mathbb{Q}[x]$ y esto se contradice con el supuesto de que $\pi$ es trascendental!