¿Por qué $A \circ {B^{ - 1}} + {A^{ - 1}} \circ B \ge 2{I_{n \times n}}$?

Question

Deje $A, B \in M_n$ ser positiva definida y $A \circ B = \left[ {{a_{ij}}{b_{ij}}} \right]$.

¿Por qué $A \circ {B^{ - 1}} + {A^{ - 1}} \circ B \ge 2{I_{n \times n}}$ ?

Answer 1

Primero observar que para cualquier par de elementos de a$X,Y \in M_{n}$, $X \circ Y$ es uno de los principales menores de $X \otimes Y$. Y también es sencillo observar que cualquier director de menores de positiva definida la matriz también es positiva definida.

Así que para demostrar $A\circ B^{-1} + A^{-1} \circ B \geq 2 I_n$, es suficiente para demostrar $$A\otimes B^{-1} + A^{-1} \otimes B \geq 2 I_{n^2}.$$

Ahora $A,B$ se dan positiva definida. Por lo tanto el elemento $A\otimes B^{-1}$ y su inverso $(A \otimes B^{-1})^{-1} = A^{-1}\otimes B$ es significativa definte.

Ahora el uso del espectro teorema vamos a probar que para cualquier matriz positiva definida $T \in M_k$, tendremos $$T+T^{-1} \geq 2I_k.$$

Desde $T$ es positiva definida, existe una ortonormales eigen base con respecto a la cual se $T$ será de la forma diagonal y $T +T^{-1}$ le parezca $$\begin{align} \begin{pmatrix} t_1 + \frac{1}{t_1} &0 &\cdots &0\\ 0 & t_2 + \frac{1}{t_2} &\cdots &0\\ 0& 0 &\cdots &0\\ 0& 0& \cdots & t_k + \frac{1}{t_k} \end{pmatrix} \end{align}$$ donde $t_i$'s son positivos eigen valor de $T$. Y desde $x+\frac{1}{x} \geq 2$ todos los $x>0$, tendremos $$T+T^{-1} \geq 2I_k.$$

Answer 2

Esta respuesta fue completado con la ayuda de usuario timón que ya ha dado una excelente respuesta, que es bastante general. Este es un enfoque diferente.

Para $x>0$, usted tiene que $x+\frac{1}{x}\geq 2$. Ahora, Vamos a $A=\sum_{i}\alpha_i x_i x_i^H$ ser su Eigen-descomposición de modo que $\alpha_i>0$ son los autovalores. Del mismo modo $B=\sum_{j}\beta_i y_i y_i^H$, de modo que $\beta_i>0$ son los autovalores. A continuación, tratamos de demostrar que

$$C=A\circ B^{-1}+A^{-1}\circ B=\sum_{i,j}\left(\frac{\alpha_i}{\beta_j}+\frac{\beta_j}{\alpha_i}\right)(x_i\circ y_j)(x_i\circ y_j)^H$$

Ahora, tenga en cuenta que los coeficientes de todos los términos son mayores que dos. Definir los vectores $r_{ij}=x_i\circ y_j$ todos los $i,j$ y también las constantes de $\gamma_{ij}=\frac{\alpha_i}{\beta_j}+\frac{\beta_j}{\alpha_i}$. Tenga en cuenta que $\gamma_{ij}\geq 2$

Por lo tanto, hemos $$\begin{align} C&=\sum_{i,j}\left(\frac{\alpha_i}{\beta_j}+\frac{\beta_j}{\alpha_i}\right)(x_i\circ y_j)(x_i\circ y_j)^H \\ &\geq 2\sum_{i,j}(x_i\circ y_j)(x_i\circ y_j)^H \\ &=2\left(\left(\sum_{i}x_ix_i^H\right)\circ \left(\sum_{j}y_jy_j^H\right)\right) \\ &= 2I \end{align}$$ Esto demuestra la necesaria desigualdad. Pasos anteriores, siga a partir de los siguientes hechos $$\sum_{i}x_ix_i^H=I$$ De esta manera se sigue desde $x_i$'s son un conjunto de vectores ortonormales por definición. Propiedad Similar se tiene para $y_i$'s. También tenemos $$(x_i\circ y_j)(x_i\circ y_j)^H = \left(x_ix_i^H\right)\circ \left(y_jy_j^H\right)$$ Tratamos de probar esto por sí mismo.