Área y coordenadas polares

Question

¿Alguien podría ayudarme con este problema? Creo que conozco la fórmula del área en coordenadas polares que hay que utilizar: la antiderivada de ((1/2)r^2 dtheta) de alfa a beta pero no estoy muy seguro de cómo obtener el área de la parte eliminada. Gracias por cualquier ayuda que se pueda prestar.

Answer 1

Basta con mirar las dos ecuaciones y observar que se cruzan. La clave es encontrar esos puntos de intersección. Hay varias maneras de hacerlo -- una sería convertir ambos círculos a cartesianos. pero probablemente haría lo siguiente:

-- desde $r=5$ por lo que la ecuación de ese círculo es $x^2 + y^2 = 25$ .

-- Ya que el otro círculo es $r=18\cos \theta$ podemos convertirlo en cartesiano con $y=r\sin\theta$ y $x=r\cos\theta$ . Eso te hace $(x-9)^2 + y^2 = 81$ .

Haz que esos dos sean iguales entre sí. $x^2 + y^2 = (x-9)^2 + y^2$ . Eso debería conseguirte un par de coordenadas que muestren dónde están los puntos de intersección.

A partir de ahí tienes dos opciones: una es tomar una antiderivada de la circunferencia más pequeña y utilizar los puntos de intersección como límites. La otra es hacer lo mismo en coordenadas polares. La idea en cualquiera de los dos casos es obtener el área del círculo pequeño que está dentro del mayor y restar.

(He editado esto para arreglar un cartel)

Answer 2

Primero encuentra los puntos de intersección. Para ello, observa que se encuentran en los vértices de un triángulo isósceles de lados $9$ , $9$ y $5$ . Esto debería permitirle encontrar $\theta_min$ y $\theta_max$ .

A continuación, realiza la integración.

Answer 3

Dejemos que $\theta_1$ denotan el valor del menor positivo $\theta$ que resuelve $18\cos \theta=5$ . Entonces, $$A_{\text{common between curves}}=\int^{\pi/2}_{\theta_1}(18\cos \theta)^2d\theta+2 5\theta_1$$ Así, $$A=81\pi-\left(\int^{\pi/2}_{\theta_1}(18\cos \theta)^2d\theta+25\theta_1\right)$$