Subconjuntos mutuamente excluyentes contables de un sistema contable

Question

Esto es parte de un problema más grande que yo estoy tratando de probar, pero mi argumento depende de la validez de la idea siguiente. Tenga en cuenta que cuando digo contables, no me refiero finito -- me refiero a infinito contable.

Considerar el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$. Ahora tome una contables subconjunto de ellos, llame a es $\mathsf{S}_1$. A continuación, tomar una contables subconjunto de $\mathbb{N}\setminus{\mathsf{S}_1}$ y llamar a $\mathsf{S}_2$. A continuación, tomar una contables subconjunto de $\mathbb{N}\setminus\{{\mathsf{S}_1}\cup{\mathsf{S}_2}\}$ y llamar a $\mathsf{S}_3$. Continúe de esta manera a la construcción $\mathsf{S}_i$'s tal que ${\mathsf{S}_i}\cap{\mathsf{S}_j}=\emptyset$$i≠j$.

Mi pregunta es esta: ¿es necesariamente el caso de que, finalmente, habrá un número finito de $\mathsf{S}_i$'s $\mathbb{N}\setminus\bigcup_{i}{\mathsf{S}_i}={P}$ donde $P$ o está vacío finito? Supongo que sí, pero no estoy como para demostrar que el o cómo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

No, no es el caso. Por ejemplo, si tomamos $S_i$ a ser el conjunto de números $n$ tal que $2^i\mid n$ $2^{i+1}\nmid n$, entonces todos los $S_i$ numerable infinito y pares disjuntos. Por lo tanto, sacar estas series nunca te dejará con un finito o un conjunto vacío.

Answer 2

Desde $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ tienen la misma cardinalidad, basta para dar un contraejemplo para $\mathbb{Q}$. Tomar el $S_i = \mathbb{Q} \cap (i,i+1)$.

Answer 3

Que $p_1,p_2, \dots$ ser los primos. Conjunto de $S_n = \{p_n^k: k\in \mathbb {N}\}.$ $S_n$ pares son disjuntos y numerable infinito y $\mathbb {N}\setminus (S_1\cup S_2 \cup \dots)$ $1$ y los números naturales con más de un factor principal.

Answer 4

La siguiente es una receta para generar gran cantidad de contraejemplos a su reclamo. Elija su favorito bijection $\langle\cdot, \cdot\rangle$ entre $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$y $\mathbb{N}$ - decir, el Cantor función de emparejamiento. Ahora que $$S_n=\{\langle n, x\rangle: x\in\mathbb{N}\}.$$ Basically, we transform $\mathbb{N}$ into a $\mathbb{N}$-by-$\mathbb{N}$ array, and then let $S_n$ be the $n$th columna de esa matriz.

Answer 5

Edición: @ErickWong es correcta (véase su comentario más abajo). Esto no contesta la pregunta. Cubrir yo mismo con la salvedad de "Si lo entiendo...". Dejo esta respuesta para un tiempo ya que otros pueden aprender de él.

Si entiendo que tu pregunta correctamente aquí es otra manera de mostrar que puede tener un infinito conjunto de izquierda sobre. A llevar a cabo su construcción en el conjunto infinito numerable de números. Se seguirán todas las probabilidades.