Generar Variables aleatorias de binomio con dada la correlación

Question

Supongamos que sé cómo generar independiente Binomio Variables Aleatorias. ¿Cómo puedo generar dos variables aleatorias $X$ $Y$ tal que $$X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$$

Pensé tratando de usar el hecho de que $X$ $Y-\rho X$ son independientes donde $\rho=Corr(X,Y)$ pero no creo que el $X-\rho Y$ es Binomial distribuidos así que no puedo usar este método. Si este había trabajado, me gustaría han generado dos variables aleatorias Binomiales, decir $A$$B$, a continuación, establezca $X=A$ $Y-\rho X=B$ es decir $Y=B+\rho A$ y, por lo tanto yo tengo el par $(X,Y)$. Pero no puedo hacer esto como $Y-\rho X$ no es Binomial distribuido.

Cualquier sugerencia será apreciado sobre cómo proceder.

Answer 1

Usted puede utilizar la representación lineal de la correlación en el discreto apoyo de las distribuciones.

En el caso particular de la distribución Binomial, la representación $$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$$ puede ser explotado desde $$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$$ Si elegimos algunas de las $\delta_i$'s igual a algunas de las $\gamma_j$'s, y generados independientemente de lo contrario, obtenemos $$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$$ donde la notación $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ indica que $\delta_i$ es elegido idéntica a $\gamma_j$ más que la genera como una Bernoulli $\text{B}(1,2/3)$.

Dado que la restricción es$$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$$tenemos que resolver $$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$$This means that if we pick 6 of the 8 $\delta_i$'s equal to 6 of the 18 $\gamma_j$'s we should get this correlation of 0.5.

The implementation goes as follows:

1. Generate $Z\sim\text{B}(6,2/3)$, $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$, $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$;
2. Toma $X=Z+Z_1$ $Y=Z+Y_1$

Podemos comprobar este resultado con una R de simulación

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Comentario

Este es un lugar artificial solución al problema en el que sólo funciona porque $8\times 18$ es un cuadrado perfecto y porque $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ es un número entero. Para otras correlaciones aceptables, la aleatorización, es decir, $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ sería igual a cero o uno con una cierta probabilidad de $\varrho$.

Anexo

El problema fue propuesto y resuelto años atrás, en Stack Overflow con la misma idea de compartir Bernoullis.