¿Gradiente de un campo vectorial?

Question

¿Qué significa tomar el gradiente de un campo vectorial? $\nabla \vec{v}(x,y,z)$? Sólo entiendo lo que significa tener el graduado de un campo escalar... gracias.

Answer 1

El gradiente de un vector es un tensor que nos dice cómo es el campo de vectores cambios en cualquier dirección. Podemos representar el gradiente de un vector por una matriz de sus componentes con respecto a una base. El $(\nabla V)_{\text{ij}}$ componente nos indica que el cambio de la $V_j$ componente en el $\pmb{e}_i$ dirección (tal vez tengo que hacia atrás). Usted puede comprobar hacia fuera el artículo de la Wikipedia para los detalles del cálculo de los componentes.

Para obtener una imagen física de su significado que podemos descomponer en 1) la traza (divergencia) 2) un anti-simétrica del tensor (la curvatura) 3) un traceless simétrica del tensor (la corte)

Si el campo vectorial que representa el flujo de material, entonces podemos examinar un pequeño cubo de material sobre un punto. La divergencia se describe cómo el cubo cambia de volumen. El rizo se describe la forma y el volumen de la preservación de la rotación del fluido. El esfuerzo cortante se describe el volumen de la preservación de la deformación.

Answer 2

Depende de cómo se defina el operador gradiente. En el cálculo geométrico, tenemos la identidad de $\nabla A = \nabla \cdot A + \nabla \wedge A$ donde $A$ es un multivector campo. Un campo vectorial es un tipo específico de multivector campo, por lo que esta misma fórmula que funciona para $\vec v(x,y,z)$.

Así, obtenemos $\nabla\vec v = \nabla \cdot \vec v + \nabla \wedge \vec v$. El primer término debe ser familiar para usted-es sólo la edad ordinario de la divergencia. Sin embargo, el segundo término es un tipo diferente de objeto por completo (en realidad, es una generalización de la familiarizado $3$D curl $\nabla \times \vec u$ que funciona en cualquier dimensión).

De la misma manera que un campo de vectores pueden ser entendidas como asociar con cada punto de su dominio orientado a un segmento de línea (un vector), $\nabla \wedge \vec v$ asociados con cada punto de su dominio de una orientada al plano del segmento (a la que llamamos bivectors). Por lo $\nabla \wedge \vec v$ se llama un bivector campo.

Para responder a su pregunta, el gradiente de un campo de vectores es la suma de un escalar y un bivector campo.

Answer 3

Gradiente de un campo del vector (o una función multi-valued $f: R^m\to R^n$) jacobiano de la función multi-valued $f$, donde cada fila $r_i$ $\text{Jacobian}(f)$ representa el gradiente de $f_i$ (Recuerde, cada componente $f_i$ de la función multi-valued $f$ es un escalar).

Answer 4

Gradiente de un campo vectorial es intuitivamente el Flujo/volumen dejando fuera de la diferencial de volumen dV. Visualizar en 2D primera. Supongamos que tenemos un campo vectorial E en 2D. Ahora bien, si se hace una gráfica de las líneas del Campo E y tomar una determinada Área (área pequeña..), de la Divergencia de E es el neto de líneas de campo, que es, (de la línea de campo que viene de fuera de la zona de menos líneas de campo que va a la zona). De manera similar, en 3D, de la Divergencia es una medida de (líneas de campo de salir - líneas de campo que viene). Si usted matemáticamente implementar esta ves tienes 3 términos de derivadas parciales añadido, que esencialmente se agrega el total neto de líneas de campo.

Para un campo escalar(es decir F(x,y,z) ) representa la tasa de cambio de F a lo largo de la la 3 perpendicular ( también llamado ortonormales ) los vectores que definen su sistema con (digamos x, y, z ).