Demostrando que $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3(n!)^2}{(2n+2)!}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^2}{6}$

Question

Demostrando que %#% $ #%

Sé que la prueba de la segunda serie que es una serie muy famosa que nos dé $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3(n!)^2}{(2n+2)!}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^2}{6}$, pero no sé cómo probar la primera serie que es más rápido que la segunda serie, cualquier ayuda

Answer 1

Con la expansión de la serie $\arcsin^2(x)$ (ver esta pregunta) dada por

$$\arcsin^2(x) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2{2n\choose n}}$$

vemos que su suma es

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{3(n!)^2}{(2n+2)!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n^2{2n\choose n}} = 6\arcsin^2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{6}$$