Hay una buena manera de calcular los símbolos de Christoffel

Question

Digamos que usted tiene un Colector de Riemann $(M,g)$, y usted tiene algún gráfico donde las $g = g_{ij} dx_i dx_j$ y se desea calcular los símbolos de Christoffel de Riemann para la conexión en este gráfico. Para hacer esto consiste en:

1) Calcular la matriz inversa de a $g$, lo cual no es malo en las dimensiones 2 y 3, pero se vuelve muy doloroso en dimensiones superiores.

2) Utilizando la fórmula

$\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{kl}(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}) $

que si mira de cerca el índice que se suman a lo largo de la derecha es $l$, por lo que hay $n=dim M$ términos en el derecho que necesitan ser evaluados, y dentro de cada uno de estos debe tomar una derivada parcial de tres términos en $g$, por lo que en total en el lado derecho hay $3n$ términos a ser calculada. Esto es sólo para cada valor de $k$.

Afortunadamente $\Gamma_{ij}^k$ es simétrica en $ij$, y tan sólo tiene que calcular aproximadamente la mitad de las $3n^3$ cantidades de que se trate, pero aún así es un muy involucrado cálculo.

¿Alguien sabe de un método más sencillo para ir sobre esto? O de una manera más fácil de buscar en el cálculo de este? Como $\Gamma_{ij}^k$ $n \times n$ simétrica matriz para cada uno de ellos fijo $k$, tal vez hay una manera de escribir $(\Gamma_{ij}^k)$, la matriz como una matriz, producto de algunas otras matrices que sería más fácil de escribir. De esa manera usted no tiene que trabajar con el índice de notación para hacer el cálculo, que también ralentiza las cosas.

Answer 1

Cabe señalar que si la métrica es diagonal los cálculos se convierten en mucho más simples. Explícitamente,

\begin{align} &\Gamma^{\lambda}_{\;\,\mu \nu} = 0 \\ &\Gamma^{\lambda}_{\;\,\mu \mu} = -\frac{1}{2}(g_{\lambda \lambda})^{-1} \partial_{\lambda} g_{\mu \mu} \\ &\Gamma^{\lambda}_{\;\,\mu \lambda} = \partial_{\mu} (ln \sqrt{|g_{\lambda \lambda}|}) \\ &\Gamma^{\lambda}_{\;\,\lambda \lambda} = \partial_{\lambda} (ln \sqrt{|g_{\lambda \lambda}|}),\end {Alinee el}

donde $\mu \neq \lambda \neq \nu$. Estas ecuaciones se pueden probar fácilmente usando la fórmula dada en la pregunta original.

Answer 2

Usted puede leer los símbolos de Christoffel de las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano definido naturalmente por la métrica, $L=\frac12 g_{ij} v^i v^j$. Todavía sucio, pero al menos no hay mucho tienes que memorizar para poder hacer el cálculo.

No puedo recordar una buena referencia del palo, pero Google encontré esto, por ejemplo: http://count.ucsc.edu/~rmont/classes/121A/polarChristoffelE_Lag.pdf