Necesito algunos consejos para este problema de Dummit y Foote. (edit: se agregó la pregunta completa verbatim para el contexto)
Deje $p$ ser impar el primer y deje $n$ ser un entero positivo. Utilizar el teorema del binomio para mostrar que $(1+p)^{p^{n-1}} \equiv 1 \pmod{p^n}$ pero $(1+p)^{p^{n-2}} \not\equiv 1\pmod{p^n}$. Deducir que $1+p$ es un elemento de orden $p^{n-1}$ en el grupo multiplicativo $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{\times}$.
Para la primera parte solo tengo que mostrar que $$p^n \;\left|\; \sum\limits_{k=1}^{p^{n-1}}\binom{p^{n-1}}{k}p^k\right.$$ and it seems obvious enough that it should, since I think I can factor a $p^n$ de cada término, pero estoy teniendo problemas para realmente probar este.
Para la segunda parte yo no estoy seguro de qué hacer.
Para la referencia es problema 21. en la página 60 de la tercera edición. (la sección 2.3).
Edit Ok me las he arreglado para mostrar la primera parte. Desde el lema en el post Bill Dubuque vinculados, que podía probar fácilmente, si $z\equiv 1$ mod $p^n$ $z = p+1$ $z^p \equiv 1$ mod $p^{n+1}$. Desde $z^p-1 = (z-1)(1+z+...+z^{p-1})$ $(1+z+...+z^{p-1})\equiv 1+1+...+1 = p \equiv 0$ mod $p$.
Por lo que se deduce por la inducción que $(p+1)^{p^{n-1}} \equiv 1$ mod $p^n$.
Mi problema aquí es que lo He probado realmente, sólo muestra que la $ord_p(z^p-1) \geq ord_p(z-1)+1$ medida de lo que puedo decir, así que estoy todavía no está seguro de cómo puedo demostrar que $(1+p)^{p^{n-2}} \not\equiv 1\pmod{p^n}$. Creo que Im perdiendo algo aquí.
Edición II Ok, se me coló un vistazo a Pete notas y veo lo que me faltaba. Realmente el paso crucial fue escrito $z = 1 + xp$, entonces pude ver cómo hacerlo.
