Bueno, ya que nadie ha tomado una puñalada en ella, yo tengo un boceto de lo que podría ser una prueba.
En primer lugar, la imagen se compone de todos los polinomios cuyos términos tienen el mismo número de $x$'s y $y$'s. El kernel, estoy seguro, es generado por los elementos de la forma $z_{ij}z_{k\ell} - z_{i\ell} z_{kj}$. La verificación sería mostrar que, modulo de este ideal, un producto de $z$'s está totalmente determinado simplemente por la desordenada multi-conjunto de índices y segundo índices, que corresponda al producto de $x$'s y $y$'s.
Ahora cambie a la vista geométrico. Si el sistema de ecuaciones $z_{ij}z_{k\ell} - z_{i\ell} z_{kj} = 0$ no tiene una singularidad, a continuación, la imagen de $\phi$ es, creo, una regular anillo. En particular, esto implica que es integralmente cerrado.
Podemos comprobar si tiene una singularidad mediante la adición de más ecuaciones que dicen que el primer orden de las derivadas parciales de la definición de las ecuaciones son cero. es decir, cada ecuación
$$ \frac{\partial}{\partial z_{uv}} (z_{ij}z_{k\ell} - z_{i\ell} z_{kj}) = 0 $$
El sistema resultante de ecuaciones tiene una solución, si $m,n \geq 2$: es $z_{ij} = 0$ todos los $i,j$.
Ahora, creo que las siguientes afirmaciones son verdaderas, si $m,n \geq 2$.
- El sistema de ecuaciones $z_{ij} z_{k\ell} - z_{i\ell} z_{kj}$ definir una $(m+n)$-dimensiones de la variedad.
- El singular conjunto de esta variedad es el único punto definido por $z_{ij}=0$, y por lo tanto es cero dimensional.
- Debido a la singular conjunto de codimension $> 1$, esto implica que la imagen de $\varphi$ es integralmente cerrado.
Si $m=1$ o $n=1$, $\phi$ es inyectiva, y por lo que su imagen es integralmente cerrado porque su dominio es.
