(Soy nuevo aquí, así que espero que esta pregunta no ha salido antes)
Un poco de motivación para el problema:
Es bien sabido que las ecuaciones $\cos(x) = \sin(x)$, $\cos(\cos(x)) = \sin(\sin(x))$, y $\cos(\cos(\cos(x))) = \sin(\sin(\sin(x)))$ todos han infinitamente muchas soluciones en $\mathbb{C}$ (la primera y la tercera tiene una infinidad de soluciones en $\mathbb{R}$). Las pruebas en estos casos son de primaria, pero se descomponen cuando se aplica a otros (falta de una palabra mejor) iteraciones. Utilizando el cuarto para ilustrar:
Considerar las dos funciones de $\cos(\cos(\cos(\cos(z))))$$\sin(\sin(\sin(\sin(z))))$, y para mayor comodidad, vamos a
$H(z) = \cos(\cos(\cos(\cos(z)))) - \sin(\sin(\sin(\sin(z))))$.
También, vamos a $V = \{z \in \mathbb{C} \, | \, H(z) = 0\}$.
La pregunta original (aunque no formulada de esta manera) fue:
Encontrar $V$.
No es difícil comprobar que $\not\exists z\in V$ tal que $\Im(z) = 0$. Para probar esto, busque extremos locales de la función $H(x)$ (donde en un abuso de notación, yo uso $H(x)$ para denotar la restricción de $H$ a los números reales), y se encuentra que todos (relativo) de los valores máximo y mínimo de la función $H(x)$ son estrictamente positivos. De hecho, se puede probar que $H(x) \geq \frac{1}{10} > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Hay más de lo estimado, pero esto es suficiente para nuestros propósitos, y demuestra que no hay soluciones reales de la ecuación de $H(x) = 0$.
Después de haber demostrado que no existen soluciones reales, la pregunta ahora es:
Es posible analíticamente (es decir, sin métodos numéricos) demostrar que $V$ no está vacía?
Mi primer instinto fue el de tratar de usar el Argumento de Principio, tal como se aplica a una bola de radio $n\in\mathbb{N}$ centrada en $0$, o un rectángulo de lado de longitud $n$ centrada en $0$, pero no estoy seguro de si estas integrales se pueden calcular de forma explícita (incluso como las integrales de contorno).
Nota: sería la escuela primaria a escribir un algoritmo basado en el Método de Newton o algunos de mejora de los mismos y el intento de encontrar las raíces. Pero la estabilidad es un problema si usted está lejos de una raíz.
