Supongamos que arreglar $p$ $0$ $1$ (sin pérdida de generalidad, podemos suponer $p \leq 1/2$). A continuación, supongamos que forman la serie de $\sum_n a_n / n$ cuando la $a_n$ son independientes de las variables aleatorias y cada una de las $a_n$ es igual a $1$ con una probabilidad de $p$ y es igual a $-1$ con una probabilidad de $1-p$. (Por lo cual podemos suponer $p \leq 1/2$.) ¿Cuál es la probabilidad de que esta serie converge, como una función de la $p$? Es evidente que si la serie diverge con una probabilidad de 1 $p = 1/2$ siempre diverge con una probabilidad de $1$ cualquier $p$, así que tal vez el caso de $p=1/2$ es la más interesante. (Sin embargo, si otros valores de $p$ dar probabilidad no nula de convergencia que también, obviamente, será muy interesante.)
Respuestas
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goric
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Al azar serie armónica - una pequeña autopromoción.
Refiriéndose a la observación por Byron y su respuesta: El teorema de que Byron señaló aclara no sólo el caso de $p=1/2$, pero también todos los demás casos. Condición II del teorema, que los valores esperados de $Y_n=X_n1_{\{|X_n|\le A\}}$ convergen para algunos $A\gt0$, no se cumple, ya que para cualquier $A\gt0$ el indicador de la variable tiempo se convierte en la unidad, por lo que tenemos $Y_n=X_n$ para suficientemente grande $n$, y el valor esperado de $X_n$$(2p-1)/n$, por lo que para un gran $n$ esta serie que tendría que convergen es un múltiplo de la serie armónica (que diverge).
