"Paquete de vectores" con no suavemente diferentes funciones de transición

Question

Estoy trabajando mi camino a través de Lang Fundamentos de la Geometría Diferencial, y cuando se introduce el vector de paquetes, él afirma que para finito dimensionales paquetes, el tercer axioma es redundante. Estoy esperando que alguien puede dar un contraejemplo en infinitas dimensiones.

Sus axiomas (para un $C^p$ bundle) son (1) local de la trivialidad, (2) la transición de los mapas son de Banach espacio isomorphisms (lineal homeomorphisms), y (3) los mapas de $x\mapsto A\_x$ $C^p$ (donde $A\_x$ es una transición mapa).

Esencialmente, estoy buscando un $C^p$ automorphism de $B\times V$ de la forma $(x,v)\mapsto(x,A\_xv)$ tal que $x\mapsto A\_x$ no $C^p$. Aquí, $B$ es abierto (es decir que la unidad de la bola) en algún espacio de Banach, $V$ es otro espacio de Banach, y el lineal mapas dado el operador de la norma.

Todos los derivados son Fréchet derivados.

Answer 1

Sospecho que el problema es en realidad que ver con la continuidad, no la diferenciabilidad. Sin más detalles sobre la definición exacta de vector paquete dado, no puedo estar seguro (y no tengo una copia del libro de Lang a mano para comprobarlo). Si la definición es un "top down", a continuación, la continuidad es sin duda un problema. Por "arriba hacia abajo", a continuación, me refiero a que un vector paquete consta de dos liso colectores, $E$$B$, y un buen mapa de $p : E \to B$ la satisfacción de las condiciones anteriores. (El otro enfoque es construir desde la transición de las funciones.)

Voy a asumir que esto es así.

A continuación, desde el nivel local, la trivialidad y la fibrewise descripción, obtenemos la transición de las funciones de $\psi : U \times F \to U \times F$. Ahora, a partir de las propiedades podemos encontrar una función $\theta : U \to GL(F)$ con la propiedad de que $\psi(x,v) = (x,\theta(x)v)$. No hay ninguna dificultad en que simplemente la definición de esta función.

El problema es que la continuidad de la $\psi$ (incluso superior a la diferenciabilidad) es no suficiente para garantizar la continuidad de $\theta$ en infinitas dimensiones. El mapa de $\theta$ es continua si $GL(F)$ es dada la débil topología donde $(A_n) \to A$ si $(A_nv) \to Av$ $(A_n^{-1}v) \to A^{-1}v$ todos los $v$. Pero normalmente pedimos el fuerte (norma), la topología en $GL(F)$.

En dimensiones finitas, esta topología está de acuerdo con el estándar de la topología, pero en infinitas dimensiones son muy diferentes. Por ejemplo, si tomamos $\ell^2$ y deje $P_n$ ser la proyección sobre la primera $n$-coordenadas, a continuación, $(P_n) \to I$ en la topología débil, pero no en el fuerte de la topología (este es un ejemplo en $L(H)$, pero puede ser fácilmente ajustado para dar un ejemplo, en $GL(H)$).

Leer más:

• Espacios Vectoriales Topológicos, Schaefer. Contiene un montón acerca de las diferentes topologías.
• Un Cómodo Ajuste de Análisis Global, Kriegl y Michor. Contiene un montón acerca de las complejidades de infinitas dimensiones topología diferencial.

Edit: me lo recordó el ejemplo clásico de esto: $L^2$-funciones en una Mentira grupo. Por simplicidad, vamos a tomar las $S^1$. A continuación, $S^1$ actúa de la manera obvia en $L^2(S^1,\mathbb{C})$ (en lo sucesivo,$L^2$). La acción $S^1 \times L^2 \to L^2$ conjuntamente continua, sino que el mapa asociado $S^1 \to GL(H)$ es más claro que el agua no. De hecho, si $\lambda \ne \mu \in S^1$$\|R_\lambda - R_\mu\| = 2$, por lo que la imagen es discreto. Así que si tenemos un $S^1$-principal paquete de $P \to B$ podemos formar un nuevo espacio tomando el cociente $P \times_{S^1} L^2$. Este va a ser localmente trivial, y los mapas de transición será fibrewise lineal, ya que son de la forma $x \mapsto R_{\lambda(x)} : L^2 \to L^2$ donde$x \mapsto \lambda(x)$, son la transición de las funciones de la $S^1$-bundle. Pero el mapa asociado $x \to GL(H)$ no es continua y por lo que no será un auténtico vector conjunto, en el sentido de Lang define.

(Lo que es particularmente vergonzoso acerca de cuánto tiempo me llevó a recordar este ejemplo es que, en un trabajo reciente de entrar en gran detalle acerca de los diferentes "niveles" se puede requerir para la continuidad de la acción de los subgrupos de $Diff(S^1)$ en varios bucle de espacios. El documento en cuestión es este uno en caso de que alguien esté interesado.)