Estaba leyendo mi libro de texto en teoría de números elementales en este momento, y surgió esta pregunta. Me hizo preguntarme: ¿Cómo se puede restar dos elementos $x, y \in \mathbb{N}$ si la resta está definida por $x-y=x+(-y)$, y $\forall a \in \mathbb{N}, 0
Me doy cuenta de que $1-10=-9$, lo cual no está en $\mathbb{N}$. Pero la pregunta simplemente me molestó, ya que me pregunto si técnicamente se pueden restar dos elementos de $\mathbb{N}$?
La resta regular no está bien definida en los números naturales. En contextos de números naturales a menudo se trabaja en cambio con resta truncada, la cual se define: $$a\dot-b = \begin{cases}0,&\text{si $a\le b$}\\ a-b&\text{si $a\ge b$}\end{cases}$$
Por ejemplo, se puede definir una resta truncada en la aritmética de Peano de la siguiente manera: $$\begin{array}{rcrl} 0 & \dot- & n & = 0 \\ Sn & \dot- & 0 & = Sn \\ Sn & \dot- & Sm & = n\dot- m \end{array} $$
Se puede definir de manera similar en el contexto de los números de Church, o en el contexto de funciones recursivas totales.
Esto suele ser suficiente para cualquier propósito que se necesite la resta.
La resta está parcialmente definida en $\Bbb N$, es decir, está definida solo para algunas parejas de números naturales. Sin embargo, no puedes definirla como $x-y=x+(-y)$, ya que $-y\notin \Bbb N$.
Puedes definir $x-y=z$ para $x,y\in \Bbb N$ simplemente como el $z\in \Bbb N$, si existe, tal que $y+z=x$.
No, la resta no está cerrada en el conjunto de números naturales.
Se puede definir la diferencia entre $a$ y $b$, $a, b \in \mathbb N$, en términos de la magnitud de la diferencia: tomando el valor absoluto: $|a - b|$ para $a, b \in \mathbb N$, pero el problema con la "resta normal" es que $\,a - b = a + (-b)$. Y aquí, $-b$ es el inverso aditivo de $b$: y dado que aquí tenemos $b \in \mathbb N$, a menos que $b = 0$ (si $\mathbb N$ incluye el $0$), $-b \notin \mathbb N$.
El inverso aditivo de un número entero $n$ es el número tal que para cualquier $n \in \mathbb Z$, $\,n + -n = -n + n = 0,\;$ donde $\,0\,$ es la identidad aditiva.
Por lo tanto, tenemos los enteros, que están cerrados bajo la resta, (o más bien cerrados bajo los inversos), por lo que definir la resta en los enteros no presenta problemas.
Sin embargo, para todo $n \in \mathbb N$, n\neq 0,\; -n \notin \mathbb N$. Eso, esencialmente, es lo que se quiere decir cuando decimos que el conjunto de números naturales no está cerrado bajo la resta (... porque no está cerrado bajo los inversos).
Cuando escribimos para los números naturales $a-b=c$ queremos decir que el número $c$ es el número natural (si existe) que verifica $c+b=a$ por lo que la resta está definida por la operación de suma. Ahora, si escribimos por ejemplo $1-10=c$, la pregunta es ¿hay un número natural $c$ tal que $c+10=1$? ¡La respuesta es obviamente NO! por lo que el conjunto de números naturales no está cerrado bajo la resta.
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