Ordenar totalmente el conjunto de potencia de un conjunto bien ordenado.

Question

Digamos que tomo un conjunto $S$ , donde $S$ puede estar bien ordenado. Por lo que tengo entendido, uno puede usar ese ordenamiento bien para ordenar totalmente $\mathscr{P}(S)$ .

¿Cómo utiliza un organismo realmente la ordenación del pozo de $S$ para construir una ordenación total de $\mathscr{P}(S)$ ?

Quizás construir sea una palabra demasiado fuerte. ¿Hay alguna manera de demostrar que un ordenamiento total de $\mathscr{P}(S)$ simplemente existe, no es necesario declarar explícitamente lo que es, ya que eso podría ser muy difícil.

Answer 1

Si $\lt$ es una buena ordenación de $S$ entonces podemos definir el ordenación léxica en el conjunto de energía $P(S)$ por lo que $A\lt_{lex} B$ si y sólo si el $\lt$ -menor elemento de la diferencia simétrica $A\triangle B$ está en $B$ y no en $A$ . Es decir, buscamos el primer lugar en el que los conjuntos difieren, y luego ponemos el conjunto sin este elemento antes del conjunto con este elemento. Esto es como el orden en un diccionario, de ahí el nombre, ya que dos palabras en un diccionario se ponen en orden comparando la primera letra en la que difieren.

Para ver que se trata de un orden total, comprobamos primero que es transitivo. Si $A\lt_{lex}B\lt_{lex} C$ entonces la primera diferencia entre $A$ y $C$ debe estar en $C$ ya que esto ocurre antes de la primera diferencia entre $A$ y $B$ , en cuyo caso está en $C$ y no en $B$ y por lo tanto en $C$ y no en $A$ o bien se produce en o después de la primera diferencia entre $A$ y $B$ , en cuyo caso se produce exactamente en esta diferencia, que está en $C$ y no en $A$ . El orden es lineal ya que dos conjuntos cualesquiera tienen efectivamente una mínima diferencia, ya que $\lt$ es una orden de bien.