Prueba usando el teorema Integral de Cauchy

Question

Supongamos que tengo el siguiente integral:

$$ \int_L \frac {dz}{z^2+1} $$

Necesito mostrar que esto es igual a $0$ si $L$ es cualquier cerrada subsanables simple curva en el exterior de la cerrada de la unidad de disco. En pocas palabras, esto es donde $|z| > 1$.

En un principio, pensé que ya "cerrado subsanables curva simple" es una parte crucial de la Integral de Cauchy Teorema, la mejor manera de ir sobre esto es para mostrar que el resto del teorema deben tener. Es decir, el dominio, $|z|>1$, es simplemente conectado dominio, y que $f(z)$ es analítica en este dominio.

Sin embargo, el dominio no parece ser simplemente conectado dominio, como todo en el interior de la unidad de disco debería evitar que sea así. Por definición, simplemente se conecta de dominio es uno donde cualquier curva simple en la que el dominio puede ser reducido a un punto que también está en el dominio, por lo tanto, puede ser posible reducir a una curva en este dominio en el interior de un círculo.

Me debe de faltar una parte clave de esta prueba, ya que a partir de ahora, esta contradiciendo la declaración me tiene perplejo. Pensamientos/ideas?

Answer 1

Tenga en cuenta que $L$ debe de incluir o no las singularidades de $f$ (leer: $\pm i$), o debe contener ambos (con la igualdad de liquidación número!). En el primer caso, hemos terminado por Cauchy teorema. En el segundo, una aplicación del teorema de los residuos muestra que la integral es cero: Los residuos en$\pm i$$\pm i/2$, respectivamente, y, por tanto, cancelar.

Para hacer esto un poco más explícito: Observe que la integral es igual a

$$\int_L \frac{1}{(z + i)(z - i)} \, dz = \frac i 2 \int_L \frac{1}{z + i} - \frac{1}{z - i} \, dz$$

Hasta una constante, esto es la diferencia de la liquidación número de $L$$i$$-i$. Pero los supuestos en $L$ de la fuerza de la liquidación número de alrededor de cualquier punto en $\overline{D}$ a ser el mismo.

Answer 2

Basado en su pregunta, usted está utilizando una forma limitada de Cauchy teorema. El teorema general (incluso cuando se limita a curvas) no requiere el dominio a ser simplemente conectado, ni que la curva simple. Sólo se requiere que la liquidación número de la curva alrededor de cualquier punto no en el dominio de $0$.

Sin embargo, esto debe hacerse con las herramientas que tienes, no con las herramientas que te hubiera gustado, así que nos quedaremos con las siguientes restricciones:

• Cauchy teorema sólo se aplica a simplemente conectado dominios y a simple curvas cerradas (pero al menos, $L$ es una simple curva cerrada).
• No Cauchy De La Integral De La Fórmula. (Los residuos son una consecuencia de Cauchy de la integral de la fórmula, por lo que son, también.)

En primer lugar, elija un punto de $p$ mínimo de grados de magnitud en $L$, y para $\epsilon > 0$, otro punto de $q_\epsilon$ $L$ dentro $\epsilon$$p$. Deje $r$ ser tal que $1 < r < |p|$, y la caída paralela de los segmentos de línea $\ell, \ell_\epsilon$ $p$ $q_\epsilon$ respectivamente para el círculo de $C$ radio $r$ sobre el origen. Luego la forma de la curva de $L'$ que

1. Sigue a $L$ $p$ el largo camino a $q_\epsilon$,
2. atraviesa la línea de $\ell_\epsilon$$q_\epsilon$$C$,
3. atraviesa $C$ en la dirección opuesta alrededor hasta que se cruza con la $\ell$.
4. atraviesa $\ell$ $p$ a cierre.

A continuación, $L'$ es una curva cerrada simple. Además, podemos dividir el dominio $U$ por una línea levantando de la unidad de círculo a mitad de camino entre el $\ell$ $\ell_\epsilon$ hasta el cruce con $L$. Después de eso, podemos seguir esta como una curva que sigue a $L$ cerca sin tocar hasta que llega un punto en donde se puede extender a $\infty$ sin intersección $L$. Cuando esta curva se quita de $U$, el resto es simplemente conectado. Por lo tanto podemos aplicar de Cauchy teorema de a $L'$ decir que $\oint_{L'} f(z)dz = 0$

Como vamos a $\epsilon \to 0$, $q_\epsilon \to p$ y $\ell_\epsilon \to \ell$, lo $$0 = \oint_{L'} f(z)dz \to \oint_L f(z)dz + \int_{\ell} f(z)dz - \oint_C f(z)dz - \int_{\ell} f(z)dz$$ De donde se desprende que el $$\oint_L f(z)dz = \oint_C f(z)dz$$

Así que todo lo que queda es demostrar que el $\oint_C f(z)dz = 0$. Pero si $C'$ es un círculo sobre el origen de la mayor radio de $C$, dejando $C'$ tomar el lugar de $L$ en el resultado que se acaba de mostrar, tienen la misma integral. Por lo tanto $\oint_C f(z)dz$ no depende del radio de $r$$C$. Ahora $$\oint_C f(z)dz = i\int_0^{2\pi} \frac{rd\theta}{e^{-i\theta} + r^2e^{i\theta}}$$

Como $r \to \infty$, esto converge a $0$. Pero dado que es constante, que tenía que ser $0$ todo junto, lo que completa la prueba de (a excepción de la limpieza de todos los handwaving).