Descomposición de paquetes propios

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico finito y $X$ una colector liso dotado de un trivial $G$ -acciones.

Se sabe que podemos descomponer cada $G$ -de un haz vectorial equivariante con respecto a la acción:

Cada vez más suave $G$ -equivariante del haz vectorial $V \to X$ puede descomponerse como la suma de Whitney $V=\bigoplus_{\chi}V_\chi$ de $G$ -equivariante de haces vectoriales.

Aquí $\chi$ ejecuta el grupo de caracteres $X(G):=\mathrm{Hom}(G,\mathbb C^\ast)$ y el $G$ -acción sobre $V_\chi$ viene dada por $g \cdot v = \chi(g)v$ ( $g \in G$ , $v \in V_\chi$ ).

Entiendo el caso cuando $X$ es un punto. Esto es sólo la descomposición del eigespacio.

Pregunta: ¿Por qué los eigenspaces varían suavemente para que $V_\chi$ da un subfondo suave de $V$ ?

Notas:

1. No menciono arriba si el haz de vectores es real o complejo. Tal vez deberíamos suponer que es complejo.
2. Si conoce una referencia que contenga la prueba, por favor hágamelo saber.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero mientras pensaba en esto durante un rato, y conseguía formar algo parecido a una imagen coherente de lo que está pasando, garabateo la razón, por la que creo que esto debe ser cierto.

Dejemos que $V_x$ sea la fibra de $x\in X$ y $V_{x,\chi}\subset V_x$ sea el subespacio de esos vectores $v$ que se actúan según el carácter $\chi$ es decir $v\in V_{x,\chi}$ si $g\cdot v=\chi(g) v$ para todos $g\in G$ .

La suavidad del $G$ -significa que los productos internos $$m_\chi(x):=\langle \chi, V_x\rangle_G=\dim V_{x,\chi}$$ entre $\chi$ y la representación de $G$ en la fibra $V_x$ son funciones suaves de $x$ . Presumiblemente $X$ está conectado, lo que significa que $m_\chi(x)$ es una constante, por lo que al menos la dimensión de $V_{x,\chi}$ es independiente de $x$ .

Pero podemos decir más. El álgebra de grupo $\Bbb{C}G$ actúa linealmente sobre las fibras, y como los elementos individuales de $G$ actuar sin problemas en $V$ , también lo hacen los elementos del álgebra de grupo. Consideremos el idempotente $$ e_\chi=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\overline{\chi(g)}g\in \Bbb{C}G. $$ En todas las fibras $V_x$ tenemos $V_{x,\chi}=e_\chi(V_x)$ . Porque esta proyección $e_\chi$ depende suavemente de $x$ . Esto es así porque si denotamos por $\pi_x$ la representación de $G$ en la fibra $V_x$ , entonces obtenemos una proyección suave proyección $V\to V_\chi$ como $$ e_\chi(x)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\overline{\chi(g)}\pi_x(g). $$ En lugar de la imagen de $e_\chi(x)$ también obtenemos $V_\chi$ como el núcleo de $I-e_\chi(x)$ .

Creo que la afirmación es la siguiente. Soy demasiado ignorante en cuanto a colectores y haces de fibras como para recurrir a un teorema adecuado en este momento :-(

Answer 2

Esto está claro en el nivel de una trivialización local. Si $U$ es cualquier subconjunto abierto de $X$ tal que la preimagen de $U$ en $V\rightarrow X$ es isomorfo a $U\times \mathbb{C}^k$ entonces el $G$ -acción en esta imagen previa es sólo una $G$ -representación en $\mathbb{C}^k$ , por lo que localmente por encima de $U$ se obtiene la descomposición requerida. Dado que el $U$ se solapan y las trivializaciones en los conjuntos abiertos que se solapan son todas compatibles, la descomposición en eigespacios encaja para dar un haz suave en toda la variedad.