Demostrar rigurosamente un mapa conserva la orientación

Question

En el siguiente enlace:

http://hilbertthm90.wordpress.com/2009/09/09/what-i-talk-about-when-i-talk-about-orientation/

Ellos dicen que el antipodal mapa de $f: \mathbb{S}^{n} \rightarrow \mathbb{S}^{n}$ es la orientación de la preservación de si n es impar.

Estoy tratando de mostrar a este rigor.

Podemos argumentar de la siguiente manera?

Podemos considerar el mapa de $h: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ $h(x)=-x$ $f$ es la restricción de $h$$\mathbb{S}^{n}$. Visualización de la restricción, ya que la composición de $h$ con la inclusión del mapa de $i$ tenemos que $D(f)(a)=Dh(i(a)) \circ Di(a)$. Pero dado que la inclusión es esencialmente el mapa de identidad, entonces su derivada es el mapa de identidad. Por lo $Df(a) = Dh(a)$, por lo que la representación de la derivada de la mapa de $f$ en coordenadas locales es el mismo que el jacobiano de $h$. Sería suficiente, a continuación, observar que el determinante del Jacobiano de $h$ es simplemente $(-1)^{n+1}$ ?

Answer 1

Esta es una elaboración en mis comentarios sobre la cuestión, y en Jason DeVito la respuesta.

En primer lugar, ¿qué significa para elegir una orientación sobre un colector $M$?

1. Una manera de verlo es pensar que la orientación es una colección de mapas que cubren $M$ de manera tal que el Jacobians de que el cambio de coordenadas de mapa en todos los solapamientos positivos determinantes.

2. Otra forma de pensar de una orientación es que tenemos que elegir una orientación para $TM_p$ por cada $p \in M$, con la propiedad de que, dado cualquier $p \in M$, allí es algunas gráfico de $U$ contiene $p$, con coordenadas locales $x_1,\ldots,x_n$, tal que la orientación en $TM_q$ es la que contiene la base $\partial_{x_1}, \ldots, \partial_{x_n}$, para cada una de las $ q \in U$. (Recordemos que una orientación sobre un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ es una colección de bases que todas las matrices de cambio de base tiene determinante positivo.)

No es difícil comprobar que estas dos nociones coinciden. De hecho, dado un colllection de cartas como en la primera definición, podemos definir una orientación en el espacio de la tangente $TM_p$ por cada $p\in M$ como sigue: si $p \in U$ para un gráfico de $U$ en nuestra colección dada, y si $x_1,\ldots,x_n$ son las coordenadas locales en $U$, entonces podemos definir la orientación en $TM_p$ a ser el que contiene la base $\partial_{x_1},\ldots,\partial_{x_n}$. Tenga en cuenta que nuestra hipótesis sobre la transición de mapas en la superposición de los gráficos significa que esta realmente les da una orientación bien definida en el espacio vectorial $TM_p$ por cada $p$. Por la construcción el conjunto de orientaciones sobre los espacios tangentes $TM_p$ satisface las condiciones de 2.

Por el contrario, dado un conjunto de orientaciones sobre la $TM_p$ como en la definición 2, considerar el conjunto de los gráficos de $U$ cuya existencia está garantizada por 2; esta colección de gráficos, evidentemente, satisface las condiciones de la definición 1.

Para la esfera, hay una forma estándar para elegir un tipo de orientación: revisión de una unidad normal campo de vectores $\mathbb n$$\mathbb S^n$, el interior apuntando normal o el exterior apuntando normal. También fijar una orientación en $\mathbb R^{n+1}$ como un espacio vectorial. Si $p \in \mathbb R^{n+1}$, $T\mathbb R^{n+1}_p \cong \mathbb R^{n+1}$ canónicamente, y así tener una orientación en $T\mathbb R^{n+1}_p$ por cada $p$. (Un poco más largo aliento manera de describir lo que acabo de hacer, que puede sin embargo ser útil, es la siguiente: estoy usando $\mathbb R^{n+1}$ global gráfico en sí mismo, y por lo tanto la definición de una orientación en $\mathbb R^{n+1}$ como un colector como en la definición 1. Yo soy, a continuación, utilizando el procedimiento descrito anteriormente, de pasar de 1 a 2, para obtener una orientación en cada una de las $T\mathbb R^{n+1}_p$.)

Ahora, para cada una de las $p \in \mathbb S^n$, definir una orientación en $T\mathbb S^n_p$ tal que la inducida por la orientación en $T\mathbb S^n_p \oplus \mathbb R\mathbb n = T\mathbb R^{n+1}_p$ (inducida por la orientación de sentido que añadimos $\mathbb n$ a cualquier positivamente orientada a base de $T\mathbb S^n_p$ a fin de obtener una base para $T\mathbb R^{n+1}_p$) coincide con la orientación en $T\mathbb R^{n+1}_p$.

Ahora que nos hemos fijado en la orientación en $\mathbb S^n$, finalmente estamos en una posición para hacer una Jacobiana de cálculo para calcular si $f$ conserva o se invierte la orientación.

Como se señaló en el OP, $Dh(p)$ ha determinante $(-1)^{n+1}$ para cualquier punto de $p$. Por otro lado, $Dh$ toma la unidad normal $\mathbb n(p)$ a la unidad normal $\mathbb n(f(p))$. (Dibujar la imagen!)

En otras palabras, si tenemos en cuenta $Dh(p): T\mathbb R^{n+1}_p \a T\mathbb R^{n+1}_{f(p)}$, and we decompose this into the direct sum of $Df(p): T\mathbb S^n_p \T\mathbb S^n_{f(p)}$ and the map $\mathbb R \mathbb n(p) \to \mathbb R \mathbb n(f(p))$ induced by $Dh(p)$, the latter map has the matrix $1$ with respect to the bases $\mathbb n(p)$ in the source and $\mathbb n(f(p))$ in the target. Thus $Df(p)$ also has determinant $(-1)^{n+1}$ con respecto a la orientación positiva de las bases de su origen y de destino.

Por lo tanto $f$ es la orientación revertir el/la preservación de acuerdo a si $n$ es par/impar.

Answer 2

Creo que algo más hay que decir. El problema es que una orientación preservar diffeomorphism puede ser la orientación de invertir en un subespacio. Por ejemplo, Considere el mapa de $h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$$h(x,y,z) = (-x,-y,z)$. Esta es la orientación preservar desde el determinante del Jacobiano es 1.

Sin embargo, el plano yz tiene su orientación invertida. Esto es debido a que si se restringen a estos puntos, en el local de coordenadas, se puede conseguir que la $(y,z)$ se asigna a $(-y,z)$, lo cual es claramente la orientación de la inversión. Si usted prefiere un ejemplo compacto, utilice el círculo unidad en el plano yz.

No estoy seguro de si el hecho de que la esfera es codimension 1 en $\mathbb{R}^{n+1}$ reglas de este tipo de comportamiento o no.

Por último, aquí es un argumento que muestra la antipodal mapa de orientación con la preservación de al $n$ es impar.

Lema 1: Sea o no un diffeomorphism es la orientación de la preservación o la inversión puede ser verificada en un único punto (al menos si la orientada al colector está conectado).

Prueba: Dado un diffeomorphism $f:M\rightarrow M$, el mapa de $M$ $\{-1,1\}$dado por tomar el signo de $\det(df(p))$ puede ser demostrado ser continua en el uso de coordenadas locales. (El signo nunca es $0$ desde $f$ es un diffeomorphism). Si $M$ está conectado, esto implica el mapa es constante.

Lema 2: Si $F:M\times[0,1]\rightarrow M$ es suave y $f_t(p) = F(p,t)$ es un diffeomorphism para cada uno de ellos fijo $t$, entonces todos los $f_t$ son de la orientación de la preservación o todos ellos son de la orientación de la inversión.

Prueba: Por el Lema 1, se puede centrarse en un solo punto de $p$. A continuación, la función de tomar $[0,1]$ a el signo de $df_t(p)\in\{-1,1\}$ puede ser demostrado ser continua en el uso de coordenadas locales, por lo tanto, es constante.

Lema 3: Al $n$ es impar, no es un buen mapa de $F:S^{n}\times[0,1]\rightarrow S^n$ que $f_0$ es el mapa de identidad y $f_1$ es el antipodal mapa.

Prueba: Por $p = (p_1,...,p_{2n})$, Vamos a $F(p,t) = (\cos(\pi t) p_1 + \sin(\pi t)p_2, -\sin(\pi t) p_1 + \cos(\pi t) p_2,... )$, así que, esencialmente, hacer una rotación en cada par de coordenadas. Este es un diffeomorphism para cada una de las $t$ debido a la inversa mapa está dada por la rotación de cada par de coordenadas en la dirección opuesta a la misma hora.

Finalmente, $f_0(p) = F(p, 0) = (p_1,...,p_{2n})$ $f_0 = Id$ $f_1(p) = F(p,1) = (-p_1,...,-p_{2n}).$ $f_1$ es el antipodal mapa.