Cómo probar que $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{k^k}{k!}x^k=\frac{1}{2}, ~\text{donde}~~ x=\frac{1}{3}e^{-1/3}~? $$ He encontrado esta suma en mis notas, pero no recuerdo de dónde lo saqué. Cualquier sugerencias o referencias sería agradable.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Idea, demasiado largo para un comentario: utilice la función de Lambert. $$W(x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n,$$ $$W'(x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}n^n}{n!}x^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{n!}(-x)^{n-1}$$ $$\cdots$$
Andreas
Puntos
36
Consideremos $\sum_{k=1}^\infty\frac{k^k}{k!}\big(\frac{1}{ae^{1/a}}\big)^k=\frac{1}{a-1}$ $a > 1$ (como en la pregunta).
A continuación, $\frac{1}{a-1} = - 1+ \frac{1}{1-1/a} = \sum_{k=1}^\infty (\frac1a)^k$ por la serie geométrica. Entonces uno tiene que mostrar
$\sum_{k=1}^\infty\Big[-1 + \frac{k^k}{k!}{e^{-k/a}}\Big](\frac{1}{a}\big)^k=0$
La escritura de algunos de los términos
$0 = \Big[-1 + {e^{-1/a}}\Big](\frac{1}{a}\big) + \Big[-1 + \frac{2^2}{2!}{e^{-2/a}}\Big](\frac{1}{a}\big)^2 + \Big[-1 + \frac{3^3}{3!}{e^{-3/a}}\Big](\frac{1}{a}\big)^3 + \cdots$
La expansión de la exponenciales y escritura de los términos a a $(1/a)^3$, dicen, requiere tomar los términos
$0 = \Big[-\frac{1}{a} + \frac12 (\frac{1}{a})^2 + \cdots \Big](\frac{1}{a}\big) + \Big[-1 + \frac{2^2}{2!}(1-\frac{2}{a} + \cdots)\Big](\frac{1}{a}\big)^2 + \Big[-1 + \frac{3^3}{3!}(1 + \cdots)\Big](\frac{1}{a}\big)^3 + \cdots$
La clasificación de potencias de $1/a$ da
$0 = \Big[0 \Big](\frac{1}{a}\big) + \Big[-1 -1 + \frac{2^2}{2!}\Big](\frac{1}{a}\big)^2 + \Big[\frac12 - 2 \frac{2^2}{2!} -1 + \frac{3^3}{3!}\Big](\frac{1}{a}\big)^3 + \cdots$
y todos los prefactors son cero, como se requiere. La solución completa, a continuación, trata sobre la expansión de todos los exponenciales. Es evidente que esto requiere algo más de trabajo formal.
