Demostración de la integridad de las funciones propias de un operador autoadjunto

Question

Siempre he oído que las funciones propias de un operador autoadjunto forman una base completa. ¿Dónde puedo encontrar una prueba en un espacio de dimensión infinita? Presumiblemente legible para los físicos.

Answer 1

La afirmación es sencillamente falsa tal como está cuando se adopta la formulación estándar del espacio de Hilbert de la QM. La afirmación verdadera es que un operador autoadjunto con espectro puntual puro admite una base de Hilbert formada por vectores propios. (Esto ocurre en particular, pero no sólo, cuando el operador es compacto o su resolvente lo es). La demostración no es tan sencilla y es un caso particular del teorema general de descomposición espectral. Se puede encontrar una demostración en los libros clásicos sobre teoría espectral, como el libro de análisis funcional de Rudin, R&S o el libro de Prugovecki sobre fundamentos matemáticos sobre QM. Incluso el original y siempre maravilloso libro de von Neumann contiene una demostración (creo que el más legible para los físicos ya que allí se inventó por primera vez toda la teoría espectral rigurosa).

La afirmación de la OP admite otra interpretación, en el sentido de la teoría del espacio de Hilbert amañado de Gelfand. En ese caso se admite la presencia de una parte continua del espectro. Este enfoque es mucho más intuitivo que el de los espacios de Hilbert puros pero, a la inversa, es extremadamente más técnico desde el punto de vista matemático, también porque necesita establecer más hipótesis topológicas que las estándar de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert. No conozco ningún libro donde aparezca una demostración completa y sospecho que no la hay (aunque estoy seguro de que la afirmación es correcta). La prueba más completa que conozco se puede extraer de varias proposiciones de los libros de Gelfand Vilenkin sobre teoría de funciones generalizadas. Tal vez el cuarto volumen. Sin embargo, algunas afirmaciones sobre algunas propiedades de algunas medidas relevantes necesarias para lograr el enunciado final de la descomposición aparecen sin prueba en ellos.

Answer 2

El operador tiene que ser acotado y compacto, o no acotado con resolvente compacto para que eso sea cierto. Puedes consultar la sección sobre operadores compactos (capítulo VI, libro 1) de Reed y Simon "Methods of modern mathematical physics".