$\int_3^5{\frac{x^2}{1+x^2}dx}$ por la diferenciación en virtud de la integral

Question

Estoy tratando de un problema fácil ubicarme utilizando el método aquí.

La integral es $$\int_3^5{\frac{x^2}{1+x^2}dx}$$.

Me gustaría continuar, si es posible resolver mediante la definición de:

$$F(y) = \int_3^5{\frac{\sin{(y\cdot x})}{1+x^2}dx}$$

Luego de la obtención de $$-F''(y) = \int_3^5{\frac{x^2\sin{(y\cdot x})}{1+x^2}dx}$$

La adición de da $$F(y) - F''(y)= \int_3^5{\frac{(1+x^2)\sin{(y\cdot x})}{1+x^2}dx}$$

o $$F(y) - F''(y) - \frac{\cos{3y}-\cos{5y}}{y} = 0.$$

Esto es donde estoy atascado. No sé cómo resolver la ecuación diferencial. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Estoy suponiendo que esto se puede hacer.

Answer 1

Observemos la siguiente ecuación diferencial:

$y''-y+ \frac{\cos3x-\cos5x}{x}=0$ ,

Esto es no homogéneas de segundo orden de la ecuación diferencial ordinaria de la forma: $y''+p(x)y'+q(x)y-g(x)=0$ ,que puede ser resuelto si la solución general de la homogénea es la versión conocida, en cuyo caso la variación de los parámetros puede ser utilizado para encontrar la solución particular:

$y_p=-y_1(x)\int\frac{y_2(x)g(x)}{W(x)}\, dx + y_2(x)\int\frac{y_1(x)g(x)}{W(x)}\, dx$ donde $y_p$ es solución particular, $y_1(x)$ $y_2(x)$ son la homogeneidad de las soluciones de la ecuación de $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ y W(x) es la Wronskian de estas dos funciones.