La suma de la serie $1+\frac{1\cdot 3}{6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{6\cdot8}+\cdots$

Question

La suma de la serie $$1+\frac{1\cdot3}{6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{6\cdot8}+ \cdots$$ es $\infty$, $1$, $2$, $4$.

Alguien me puede ayudar a resolver esta serie.Estoy totalmente atrapado en él.

Answer 1

O telescópica, tan poderoso y tan despreciado...

Deje $a_k=\dfrac{2k+1}{2k+2}$, $n$ésimo término de la serie que se calcula es $$ \prod_{k=1}^n\frac{2k+1}{2k+4}=\frac4{2n+4}\prod_{k=1}^n\frac{2k+1}{2k+2}=4(1-a_{n+1})\prod_{k=1}^na_k. $$ Por telescópica, cada suma parcial de la serie es $$ \sum_{n=0}^N\prod_{k=1}^n\frac{2k+1}{2k+4}=4-4\prod_{k=1}^{N+1}a_k. $$ Desde $1-a_k\sim1/(2k)$, el producto $\prod\limits_na_n$ diverge a $0$ por lo tanto la suma de la serie completa es $4$.

Edit: Otra fórmula exacta para las sumas parciales es $$ \sum_{n=0}^{N-1}\prod_{k=1}^n\frac{2k+1}{2k+4}=4-4\cdot\frac1{4^N}{2N+1\elegir N}. $$

Answer 2

Como se sugiere en otra respuesta, se puede escribir:

$$\prod_{k=1}^n \frac{2k+1}{2k+4}=\frac{8}{\pi}\cdot \frac{\Gamma (n+\frac{3}{2})\Gamma (\frac{3}{2})}{\Gamma (n+3)}=\frac{8}{\pi}\text{B}\left(n+\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Ahora, utilizando la definición de la función beta, nuestra suma es:

$$1+\frac{8}{\pi}\sum_{n\geq 1}\int_0^1 t^{n+\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}\,dt=1+\frac{8}{\pi}\int_0^1 t^{\frac{3}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}\,dt$$

Dejando $t=\sin^2 w,$ esto da

$$1+\frac{16}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 w\,dw=1+\frac{16}{\pi}\left(\frac{3\pi}{16}\right)=4$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\binom{n}{r} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots r}$$ y así $$\binom{1/2}{r} = \frac{\frac12 \cdot \frac{-1}2 \cdot \frac{-3}{2} \cdot \frac{-5}{2} \cdots \frac{-(2r-3)}{2}}{1\cdot2\cdot3\cdots r} = \frac{(-1)^{r-1}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r-3)}{2^r r!}$$

Ahora, en este problema, cada término después del "$1$" plazo sigue un patrón. Deje que el último factor en el denominador de un término para que se $2r$, entonces el término general es: $$ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r - 3)}{6 \cdot 8 \cdot 10 \cdots (2r)} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r - 3)}{2^{r-2} 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots r} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r - 3)}{2^{r-3} r!} = 8 (-1)^{i-1} \binom{1/2}{r} \\ = -8\binom{1/2}{r}(-1)^r $$

Sabemos por el teorema del binomio que $\sum_{r=0}^{\infty} \binom{n}{r} x^r = (1 + x)^n$$|x| < 1$, y con $x = -1$, también sabemos que para enteros positivos $n$, al menos, tenemos $\sum_{r=0}^{\infty} \binom{n}{r} (-1)^r = (1-1)^n = 0$. A la luz de estos, no es difícil creer que $\sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} (-1)^r = 0$ así: no estoy exactamente seguro de cómo probar esto, pero de lo que resultaría de una Tauberian teorema teniendo en cuenta que podemos demostrar que la suma converge.

Así que nuestra suma en este problema es $$ 1 + \sum_{i=3}^{\infty} -8 \binom{1/2}{r} (-1)^r = 1 - 8\sum_{i=3}^{\infty} \binom{1/2}{r} (-1)^r $$

La suma en el interior es casi la suma que hemos dicho más arriba es $0$, salvo que el $r = 0, 1, 2$ términos que faltan. En otras palabras, nuestra suma en este problema es:

$$ \begin{align} &1 - 8\Bigg(0 - \Big(1 + \frac12(-1) + \frac{(1/2)(-1/2)}{2}\Big)\Bigg) \\ &= 1 + 8\left(\frac38\right) \\ &= 4. \end{align} $$

Answer 4

La serie se puede escribir como $$ \begin{align} &1+\frac{1\cdot3}{6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{6\cdot8}+\dots\\ &8\left(\frac1{2\cdot4}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8}+\dots\right)\\ &=8\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k+2)!!}\tag{1} \end{align} $$ Esto es una reminiscencia de la serie (que se obtiene por el teorema del binomio) $$ \begin{align} (1-x)^{-1/2} &=1+\frac12x+\frac12\frac32\frac{x^2}{2!}+\frac12\frac32\frac52\frac{x^3}{3!}+\dots\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}x^k\tag{2} \end{align} $$ Sustituto $x\mapsto x^2$ y multiplicar por $x$ para obtener $$ x(1-x^2)^{-1/2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}x^{2k+1}\etiqueta{3} $$ La integración de los rendimientos $$ 1-\sqrt{1-x^2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k+2)!!}x^{2k+2}\etiqueta{4} $$ Conectar $x=1$ y restando $\frac12=\frac{(-1)!!}{2!!}$ rendimientos $$ \frac12=\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k+2)!!}\la etiqueta{5} $$ Multiplicando por $8$ y la aplicación de $(1)$, obtenemos $$ \begin{align} 4 &=8\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k+2)!!}\\ &=1+\frac{1\cdot3}{6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{6\cdot8}+\dots\tag{6} \end{align} $$

Answer 5

Creo que el término general después de que el primero es

$$\frac{(2n+1)! \cdot 4 \cdot 2}{2^n \cdot n! \cdot 2^{n+2} \cdot (n+2)! } \ , $$

con $ \ n \ \ge \ 1 . $

La serie, a continuación, debería ser convergente. La serie es claramente más grande que

$$1 \ + \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \left( \ \frac{5}{8} \ \right)^n \ , $$

por lo que la suma es mayor que 2, pero no infinito. Que las hojas de 4 entre las opciones.