Exterior de automorfismos de la infinita grupo simétrico

Question

Denotaremos por S$_\infty$ el grupo de permutaciones de $\mathbb N$.

Pregunta: ¿existe un exterior automorphism de S$_\infty$, y si es así, ¿se puede estar expuesto? ¿Esto dependerá de la hipótesis continua?

Motivación: estoy tratando de ver si el grupo de finitary permutaciones es característico en S$_\infty$.

Answer 1

$S_{\infty}$ no tiene no trivial exterior de automorfismos.

Para probar esto, vamos a demostrar que (1) los automorfismos de a $S_{\infty}$ mapa transposiciones a transposiciones y (2) que esto implica que $S_{\infty}$ no tiene no trivial exterior de automorfismos.

Para demostrar (1), vamos a considerar la conjugacy clases de $S_{\infty}$. En el caso de $S_n$, el hecho de que cada permutación se puede escribir como un producto de ciclos disjuntos implica que el conjugacy clases corresponden a las particiones de enteros de $n$. En el caso de $S_{\infty}$, obtenemos un resultado similar. Es decir, las clases conjugacy de $S_{\infty}$ corresponden a la multisets que contienen elementos en $\mathbb{N} \cup \{\lvert\mathbb{N}\rvert\}$.

En particular, vemos que las transposiciones formar una clase conjugacy. Ya que cada transposición tiene orden de $2$, podemos considerar las otras clases conjugacy de elementos de orden $2$. Los elementos de orden $2$ $S_{\infty}$ son aquellos que se pueden expresar como productos de distintos transposiciones. (Puede ser necesario tomar un producto countably infinitamente muchos distinto, transposiciones, pero esto no es un problema, ya que es fácil de definir infinito productos de distintos permutaciones.) Las clases conjugacy cuyos elementos tienen el fin de $2$ corresponden por tanto a los pares que contiene el número de transposiciones en el producto y el número de puntos fijos (que son dos enteros positivos o $\lvert\mathbb{N}\rvert$). Deje $\mathcal{C}$ denotar la colección de todas esas clases conjugacy.

Ahora, las transposiciones tienen la propiedad de que el producto de dos transposiciones siempre ha pedido en la mayoría de los $3$. Nos dicen que si $C \in \mathcal{C}$ no es el conjunto de transposiciones, a continuación, contiene un par de elementos cuyo producto tiene el fin de, al menos,$6$. Deje $m \in \mathbb{N} \cup \{\lvert\mathbb{N}\rvert\}$ el número de distinto transposiciones necesarias para expresar los elementos de $C$ como un producto y deje $n \in \mathbb{N} \cup \{\lvert\mathbb{N}\rvert\}$ ser el número de puntos fijos. En el caso de que $m = 1$ corresponde a las transposiciones. Supongamos $m \geq 2$. Si $n \geq 3$, $C$ contiene los elementos $$\pi_1 = (12) (56) \sigma$$ y $$\pi_2 = (34) (67) \sigma$$ donde $\sigma$ es un producto de $m - 2$ discontinuo transposiciones con la propiedad de que $\sigma(k) = k$ $1 \leq k \leq 7$ $\sigma$ $n - 3$ puntos fijos. Entonces $$\pi_1 \pi_2 = (12)(34)(567)$$ que tiene orden de $6$. Si $n < 3$,$m = \infty$. Podemos pensar de $S_{\infty}$ que actúa sobre el conjunto de $\mathbb{Z} \uplus A$ donde $\lvert A \rvert = n$. A continuación, $C$ contiene los elementos $$\pi = \prod_{i \in 2 \mathbb{Z}} (i, i + 1)$$ y $$\pi_2 = \prod_{j \in 2 \mathbb{Z}} (j - 1, j)$$ y tenemos $\pi_1 \pi_2(2 k) = 2k - 2$ $\pi_1 \pi_2(2 k + 1) = 2k + 3$ $k \in \mathbb{Z}$ $\pi_1 \pi_2$ tiene orden infinito. Esto demuestra que $C$ contiene un par de elementos cuyo producto tiene el fin de, al menos, $6$ como se reivindica.

De ello se sigue que cualquier automorphism de $S_{\infty}$ mapas de la clase conjugacy que consiste en la transposición a sí mismo. Esto completa la prueba de (1).

Para probar (2), debemos comenzar por señalar que dos transposiciones son distintos o iguales, si y sólo si tiene que desplazarse. A partir de (1), sabemos que cada uno de transposición $(1 i)$ se asigna a algunos de transposición $(j k)$. Deje $\phi$ ser un automorphism de $S_{\infty}$. A continuación, $(1 2)$ $(1 i)$ conmutan si y sólo si $\phi((1 2))$ $\phi((1 i))$ viaje. Por lo tanto, no existe $a_{\phi}$ y un bijection $\pi_{\phi}' : \mathbb{N} \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{a_{\phi}\}$ tal que, para todos los $i \not= 1$, $\phi((1 i)) = (a_{\phi}, \pi_{\phi}'(i))$. Equivalentemente, existe $\pi_{\phi} \in S_{\infty}$ tal que para todos los $i \not= 1$, $$\phi((1 i)) = (\pi_{\phi}(1), \pi_{\phi}(i)) = \pi_{\phi} (1 i) \pi_{\phi}^{-1}$$ Esto implica que $$\phi(\sigma) = \pi_{\phi} \sigma \pi_{\phi}^{-1}$$ donde $\sigma$ es finitary.

A continuación, vamos a mostrar que $$\phi[\mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{i\})] = \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(i)\})$$ for all $i$. First, we observe that $C(S_3) = \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3\})$ and by the above $\phi[S_3] = \mathrm{Símbolo}(\{\pi_{\phi}(1), \pi_{\phi}(2), \pi_{\phi}(3)\})$. Since $C(\mathrm{Símbolo}(\{\pi_{\phi}(1), \pi_{\phi}(2), \pi_{\phi}(3)\})) = \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(1), \pi_{\phi}(2), \pi_{\phi}(3)\})$, we see that $\phi[\mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3\})] = \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(1), \pi_{\phi}(2), \pi_{\phi}(3)\})$. Since $\langle (2 4), (3 4), \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3\}) \rangle = \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{1\})$ and $\langle (\pi_{\phi}(2), \pi_{\phi}(4)), (\pi_{\phi}(3), \pi_{\phi}(4)), \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(1), \pi_{\phi}(2), \pi_{\phi}(3)\}) \rangle = \mathrm{Símbolo}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(1)\})$, vemos que $$\phi[\mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{1\})] = \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(1)\})$$ Tomando conjugados por transposiciones, obtenemos $$\phi[\mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{i\})] = \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(i)\})$$ para todos los $i$ como se reivindica.

Ahora, vamos a $\sigma \in S_{\infty}$. Vamos a mostrar que $\phi(\sigma) = \pi_{\phi} \sigma \pi_{\phi}^{-1}$. Desde $$S_{\infty} / \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{i\}) = \left\{(i j) \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{i\}) \;\middle|\; j \in \mathbb{N}\right\}$$ de ello se deduce que para cualquier $\tau \in S_{\infty}$, $\tau(i) = j$ si y sólo si $(i j) \tau \in \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{i\})$.

Considere la posibilidad de $i \in \mathbb{N}$ y deje $j = \sigma(i)$. A continuación,$(i j) \sigma \in \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{i\})$$\phi((i j) \sigma) \in \mathrm{Sym}(\mathbb{N} \setminus \{\pi_{\phi}(i)\})$. Desde $\phi((i j) \sigma) = (\pi_{\phi}(i), \pi_{\phi}(j)) \phi(\sigma)$, se deduce que el $\phi(\sigma)(\pi_{\phi}(i)) = \pi_{\phi}(j)$, por lo que $$\phi(\sigma)(\pi_{\phi}(i)) = \pi_{\phi} \sigma \pi_{\phi}^{-1}(\pi_{\phi}(i))$$ Desde $i$ fue arbitraria, se deduce que el $\phi(\sigma) = \pi_{\phi} \sigma \pi_{\phi}^{-1}$ como se desee.