La serie de $\frac{1}{4}+\frac{1\cdot 3}{4\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 6\cdot 8}+\cdots$

Question

Encontrar la suma de la serie infinita de$$\frac{1}{4}+\frac{1\cdot 3}{4\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 6\cdot 8}+\cdots$$

Intento-

Me escribe el término general como $$\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}\cdot (n+1)}$$ No sé qué hacer a continuación

Answer 1

El numerador de la $n$-ésimo término es

$$\frac{(2n)!}{2^nn!}\;,$$

y el denominador es

$$\frac{2^{n+1}(n+1)!}2=2^n(n+1)!\;,$$

por lo que el término es en realidad

$$\frac{(2n)!}{2^{2n}n!(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\left(\frac{1}{4}\right)^n\;.$$

¿Sabe usted algo sobre el catalán números y funciones de generación?

Answer 2

No es trivial, pero la serie es un telescópica. Deje $a_n=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}$. Tenemos:

$$ a_{n}-a_{n+1} = \frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}-\frac{1}{4^{n+1}}\binom{2n+2}{n+1} =\frac{a_n}{2n+2}$$ así que si establecemos $b_n = \frac{1}{(n+1)4^n}\binom{2n}{n}$ se sigue que:

$$\sum_{n\geq 1}b_n = 2\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{2n+2} = 2\sum_{n\geq 1}\left(a_n-a_{n+1}\right) = 2a_1 = \color{red}{1}$$ desde $\lim_{n\to +\infty}a_n = 0$.

Answer 3

Mi intento-

escribir la serie de Taylor para $(1-x)^{\frac12}$ $$(1-x)^{\frac12}=1-\frac12x-\frac12\cdot\frac12\cdot\frac1{2!}x^2-\frac12\frac12\frac32\frac1{3!}x^3...$$ Después de poner x=1 y simplificando, obtengo el valor como 1.