Hay un reclamo diciendo que si tanto $G'/G''$ $G''$ son cíclicos de los grupos, a continuación, $G''=1$ donde $G'$ es la derivada de los subgrupos del grupo de $G$. He estado pensando en esto con la concentración de la N/C Lema para eliminar el problema por mí mismo. Necesito un útil de ignición de una pista(s). Además, le puedo hacer una pregunta: ¿son estos tipos de grupos bien conocidos? Por supuesto, cualquier grupo de la satisfacción de las condiciones anteriores será metabelian y obviamente es soluble.
Respuesta
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Este es el teorema de 9.4.2, página 146, en M. Hall del libro de texto sobre la Teoría de Grupos.
Usted va en la dirección correcta. Utiliza el N/C teorema, como en el normalizador modulo el centralizador es un subgrupo de la automorphism grupo.
Otra pista: es muy similar a la exhibición de "Si G/Z(G) es cíclico, entonces G es abelian.".
Estos grupos eran conocidos como "los métodos de los grupos" para un par de décadas, aunque el nombre se ha utilizado de forma ligeramente diferente.
Un caso especial donde G' y G/G' han coprime orden es muy especial: estos son exactamente los grupos en los que todos los Sylows son cíclicos. Ellos también son conocidos como "Z-grupos", aunque de nuevo el nombre significa diferentes cosas para diferentes personas.
