Demuestre que existe una constante tal que la desigualdad se mantiene

Question

Demostrar que existe una constante $c \in (0,1)$ ( $c$ debería depender de $n$ ) tal que

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^3\cdot x_{i+1} \le c \sum_{i=1}^n x_i^4$$

es válida para todos los números reales $x_i$ tal que $\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i=0$ y $x_{n+1}=x_1$ .

Answer 1

La desigualdad de Holder con $p=4/3$ y $q=4$ muestra que $\sum x_j^3x_{j+1}\le\sum|x_j^3x_{j+1}|\le \sum x_j^4$ .

Si tenemos igualdad entonces la condición de igualdad en Holder dice que $|x_{j+1}|=c|x_j|$ para algunos $c>0$ . Por lo tanto, $|x_1|=c^n|x_1|$ Así que $c=1$ . Así que todos los $x_j$ tienen el mismo valor absoluto. Supongamos que no todos los $x_j$ desaparecer. Entonces ninguno de ellos desaparece; la igualdad en la primera desigualdad muestra que entonces debemos tener $x_j^3x_{j+1}> 0$ para todos $j$ . Es decir, $x_jx_{j+1}>0$ . Así que todos los $x_j$ tienen el mismo signo, por lo que $\sum x_j\ne0$ .

Así que: $\sum x_j^3x_{j+1}<1 $ por cada $(x_j)$ con $\sum x_j^4=1$ y $\sum x_j=0$ . La compacidad da qed.