Proposición lógica para "Todo entero positivo puede escribirse como la suma de 2 cuadrados"

Question

Debo formular la proposición lógica para

Todo entero positivo puede escribirse como la suma de 2 cuadrados (dominio de los enteros)

Una de las preguntas anteriores era

Formular la proposición lógica para la frase "El número 100 se puede escribir como la suma de 2 cuadrados" (dominio de los enteros)

Y mi respuesta fue $$ \exists x \exists y(x^2 + y^2 = 100)$$

Así que pensé en adoptar el mismo enfoque con

Todo entero positivo puede escribirse como la suma de 2 cuadrados

Y se le ocurrió

$$ \forall x \exists a \exists b (a^2 + b^2 = x)$$

Pero no hay ningún lugar que indique que $x$ es positivo, también lo sería

$$ \exists x \exists a \exists b (a^2 + b^2 = x)$$

¿es correcto en su lugar?

Si alguien pudiera decirme en qué me he equivocado o darme una pista agradecería mucho la ayuda, muchas gracias.

Answer 1

¿Por qué cambiar de "forall" a "exists" si se quiere especificar " $x$ es positivo"?

Vas a querer $$(\forall x > 0)(\exists a \exists b)(a^2+b^2 = x)$$ o, si su idioma no le permite formularlo, $$(\forall x)[x > 0 \to (\exists a \exists b)(a^2+b^2 = x)]$$

Por otra parte, la proposición es falsa: $3$ no puede escribirse como la suma de dos cuadrados. Es necesario y suficiente que los primos $3 \pmod{4}$ aparecen sólo a las potencias pares en la factorización de los primos.

Answer 2

Puedes resolver esta pregunta utilizando tu respuesta anterior,

$$P_{100}:= \exists\ x,y\ (x^2 + y^2 = 100)$$

donde se sustituye $100$ por "cualquier número entero positivo", dejemos que $z$ :

$$\forall z>0\ P_z,$$ dando $$\forall z>0\ \exists\ x,y\ (x^2 + y^2 = z).$$

( $x,y,z\in\mathbb Z$ se deja implícito).

Answer 3

Se puede formular esta afirmación como:

$\large\forall_{x\in\mathbb{N}}\exists_{a,b\in\mathbb{N}}:x=a^2+b^2$

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Si le preocupa $0\in\mathbb{N}$ (que es una cuestión de definición), entonces puede utilizar $\mathbb{Z^+}$ en su lugar.

Por cierto, la propia afirmación es falsa.

Answer 4

Tu segunda versión es un a fortiori de lo que intentas expresar: debe existir tal $x$ ya que usted "conoce" cada $x$ ¡tiene esa forma!

Creo que sólo $\forall x (x>0 \implies \exists a \exists b (a^2+b^2=x))$ lo hará.