¿Por qué es $ \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {x^n}{n!} = e^x$ ?

Question

Estoy tratando de ver de dónde viene esta relación: $ \displaystyle \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {x^n}{n!} = e^x$ ¿Alguien tiene algún conocimiento especial que yo y mi profesor de matemáticas de verano no conozcamos? Se pasó a generar funciones hace unos días y no sabía exactamente de qué estaba hablando. En medio de su conferencia escribió esta función generadora. Explicó que en este caso $a_{n} = \frac {1}{n!}$ para $ \displaystyle \sum_ {n=0}^{ \infty } a_{n} x^n$ .

¿Es la relación una definición o puede derivarse utilizando $ \displaystyle \sum_ {n=0}^{ \infty } x^n $ ?

Answer 1

Para su primera pregunta, recomendaría el enfoque de Rudin como se describe en su libro, Principios del análisis matemático . Deje que $ \exp (y)= \sum_ {n=0}^ \infty \frac {y^n}{n!}$ . Define el número real $e:= \exp (1)= \sum_ {n=0}^ \infty \frac {1}{n!}$ . Ahora la pregunta es cómo salvar la brecha entre las matemáticas de la escuela secundaria y las del primer año, donde $e^y$ se considera en la escuela secundaria como $e$ elevado al poder $y$ pero sin una definición rigurosa.

Primero, necesitamos formalizar el significado de $x^y$ . Cuando $x \ge1 $ y $y= \frac nm \ge0 $ es un número racional, definimos $x^y= \sqrt [m]{x^n}$ como siempre. Sin embargo, por irracional $y>0$ hay una necesidad de generalizar. En este caso, Rudin define $$x^y= \sup\ {x^p: p \in\mathbb {Q},\,0 \le p<y\}. \tag {1}$$ La definición de $x^y$ para $0 \le x<1$ y/o $y \le0 $ se puede construir sobre $(1)$ (por ejemplo, definir $x^{-y}=1/x^y$ cuando $y$ es negativo).

Ahora, si multiplicamos las dos series de energía $ \exp (x)$ y $ \exp (y)$ juntos y reorganizar los sumandos (si conoces la convergencia absoluta y el producto del Caucus, sabes de lo que estoy hablando), se puede demostrar que $ \exp (x) \exp (y)= \exp (x+y)$ para cualquier dos $x,y \in\mathbb {R}$ . De ello se deduce que $ \exp (y)^n= \exp (ny)$ . En particular $e^n= \exp (1)^n= \exp (n)$ y $ \exp\left ( \frac nm \right )^m = \exp (n) = e^n$ . Tomando $m$ -la raíz en ambos lados, tenemos $ \exp (p)=e^p$ para todos los racionales $p= \frac nm>0$ . Por lo tanto, por definición $(1)$ , $$ e^y= \sup\ {e^p: p \in\mathbb {Q},\,0 \le p<y\} = \sup\ { \exp (p): p \in\mathbb {Q},\,0 \le p<y\}. \tag {2} $$ Desde $ \exp (x)$ es una función monótona y continua en $x$ (de nuevo, necesitamos el conocimiento de las series de energía para justificar eso), el RHS de $(2)$ es igual a $ \exp (y)$ . De ahí las definiciones de $e^y$ y $ \exp (y)$ son consistentes.

Answer 2

La función de exposición tiene la propiedad de ser su propio derivado. Diferencia la serie término por término y mira lo que obtienes.

Answer 3

Además de que la función exponencial se define la mayoría de las veces de esta manera, podemos ver que se mantiene si tomamos otra definición como que la función exp es la única función con $f(0)=1$ y $f'(x)=f(x)$ . Esta es una ecuación diferencial ordinaria donde $f'$ es localmente lipschitz por lo tanto hay una solución única, y como la función exponencial lo resuelve (sólo hay que diferenciar la suma) estamos acabados. Esto se permite porque es una serie de potencia que converge en todas partes (normalmente no se puede diferenciar una serie sumando las derivadas de los términos).

Si se quiere una prueba menos sofisticada de que la función exponencial es la única función con esta propiedad, se puede demostrar que sólo puede haber una función con esta propiedad. Deje que $f,g$ ser dos funciones con $f'=f$ y $g'=g$ .
Luego $$ \frac {d}{d x} \frac {f}{g}= \frac {f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$ Como dijimos, tenemos $f'=f$ y $g'=g$ tenemos $$ \frac {f \cdot g-f \cdot g}{g^2}=0$$ por lo tanto $ \frac {f}{g}$ es constante y $f=a \cdot g$ para algunos $a$ . En especial $$1=f(0)=a \cdot g(0)=a$$ Por lo tanto $a=1$ y $f=g$ .

Se podría definir la función exponencial como la única función holomórfica con $$ \exp (0)=1$$ y $$ \exp (u+v)= \exp (u) \cdot \exp (v)$$ Para esto se puede usar el producto Cauchy y ver que la serie satisface la ecuación funcional.

Answer 4

Vamos a definir $g(x)=b^x$

Si encontramos el derivado de $g(x)=b^x$

$$ \frac {d}{dx} g(x) = g'(x)= \lim_ {h \to 0} \frac {g(x+h)-g(x)}{h}= \lim_ {h \to 0} \frac {b^{x+h}-b^x}{h}=b^x \lim_ {h \to 0} \frac {b^{h}-1}{h} $$ Si compruebas el término de $ \lim_ {h \to 0} \frac {b^{h}-1}{h}$ No depende de $x$ . Significa $ \lim_ {h \to 0} \frac {b^{h}-1}{h}$ debe ser constante.

Así,

$$ g'(x)= c.b^x =c .g(x) \tag1 $$ donde $c$ es una constante

$c= \lim_ {h \to 0} \frac {b^{h}-1}{h}$

Ahora vamos a centrarnos en otra función $f(x)$ que está escrito en serie

$$ f(x)=1 + x + \frac {x^2}{2!}+ \frac {x^3}{3!}+ \ldots = \sum_ {k=0}^{ \infty } \frac {x^k}{k!} $$

Si encontramos el derivado de $f(x)$ ,

$$ \frac {d}{dx} f(x) =f'(x)=1 + \frac {2x^1}{2!}+ \frac {3x^2}{3!}+ \ldots = \sum_ {k=1}^{ \infty } \frac {kx^{k-1}}{k!} $$

Como ven arriba, encontrarán la misma serie después del derivado de la serie. $$ \frac {d}{dx} f(x) =1 + x + \frac {x^2}{2!}+ \frac {x^3}{3!}+ \ldots = \sum_ {k=0}^{ \infty } \frac {x^{k}}{k!}=f(x) $$

$$ f'(x)= f(x) $$

Si se comprueba la propiedad de la función exponencial en el resultado $1$ ( $g'(x)= c .g(x)$ ), $f(x)$ es una función exponencial especial que $c=1$ Así,

$$ f(x)=1 + x + \frac {x^2}{2!}+ \frac {x^3}{3!}+ \ldots = \sum_ {k=0}^{ \infty } \frac {x^{k}}{k!}=b^x$$

Para encontrar $b$ para ese caso especial que $c=1$ poner $x=1$ .

Nombramos a ese especial $b$ como $e$ en las matemáticas cuando $c=1$ . Por favor, vea http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29 para más información.

$$ f(1)=e=1 + 1 + \frac {1^2}{2!}+ \frac {1^3}{3!}+ \ldots = \sum_ {k=0}^{ \infty } \frac {1}{k!}= 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...$$

$$c=1= \lim_ {h \to 0} \frac {e^{h}-1}{h}$$

$$ \frac {d}{dx} f(x) =f(x)=e^x= \sum_ {k=0}^{ \infty } \frac {x^{k}}{k!} $$

Answer 5

Tal vez mi prueba es un poco diferente pero parece que el enfoque es el mismo: $$ \displaystyle \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {x^n}{n!} =\ f(x)$$ y $g(x)=e^x$ . Ahora citaré este lema,

si $f'(x)=g'(x)$ a través de un cierto intervalo, entonces las funciones $f(x)$ y $g(x)$ difieren a lo largo de ese intervalo por una constante, es decir $f(x)-g(x)=c$ .

Ahora pon $x=0$ y ver que $c=0$ . Las conclusiones se obtienen inmediatamente.