Cuando le pregunté a mi pregrado analítica profesor de mecánica "¿qué significa para una rotación a ser infinitesimal?" después de que él la mano-wavily presentó este tema en clase, respondió que "esto significa que es muy pequeño." En ese momento, me alejé. Más tarde ese mismo día le envié un correo a mi TA que me puso recta, me apunta con un libro en la Mentira de la teoría.
Afortunadamente, no tengo la intención de escribir una respuesta como la de mi profesor.
En general, siempre que aparece el término "infinitesimal en BLANCO" en la física, usted puede estar relativamente seguro de que esto es simplemente un marcador de posición para el "primer orden (aka lineal) la aproximación en BLANCO."
Veamos uno de los ejemplos más importantes.
Infinitesimal transformaciones.
Para ser más rigurosos acerca de esto, vamos a considerar el caso especial de "transformaciones infinitesimales." Si mi general terminológica receta de arriba es para ser exactos, tenemos que demostrar que podemos hacer que el concepto de "primer orden de aproximación a una transformación" riguroso, y de hecho podemos.
Para la concreción, vamos a restringir el debate a tranformations en la normativa espacios vectoriales. Deje un intervalo abierto $I=(a,b)$ con $0$, y suponga que $T_\epsilon$ es una transformación en algunos normativa espacio vectorial de $X$ tales que $T_0(x)$ es la identidad. Deje de $T_\epsilon$ dependen suavemente sobre $\epsilon$, entonces definimos la infinitesimal versión $\widehat T$ de $T_\epsilon$ de la siguiente manera. Para cada punto de $x\in X$, tenemos
$$
\widehat T_\epsilon(x) = x + \epsilon\frac{\partial}{\partial\epsilon}T_{\epsilon}(x)\bigg|_{\epsilon=0}
$$
La intuición es que aquí se puede imaginar la expansión de $T_\epsilon(x)$ como una potencia de la serie en $\epsilon$;
$$
T_\epsilon(x) = x + \epsilon T_1(x) + \mathcal O(\epsilon^2)
$$
en cuyo caso la expresión anterior para el infinitesimal versión de $T_\epsilon$ da
$$
\widehat {T}_\epsilon(x) = x+\epsilon T_1(x)
$$
de manera que la transformación $\widehat T$ codifica el comportamiento de la transformación $T_\epsilon$ a primer orden en $\epsilon$. Los físicos llaman a menudo la transformación $T_1$ el generador infinitesimal de $T_\epsilon$.
Ejemplo. Rotaciones infinitesimales en 2D
Considere la siguiente rotación de la 2D plano Euclidiano:
$$
T_\epsilon = \begin{pmatrix}
\cos\epsilon& -\sin\epsilon\\
\sin\epsilon& \cos\epsilon\\
\end{pmatrix}
$$
Esta transformación tiene todas las propiedades deseadas descritos anteriormente, y su versión es infinitesimal
$$
\widehat T_\epsilon =
\begin{pmatrix}
1& 0\\
0& 1\\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
0& -\epsilon\\
\epsilon& 0\\
\end{pmatrix}
$$
Si actuamos en un punto en 2D con esta transformación infinitesimal, entonces tenemos una buena aproximación a lo que la rotación completa para valores pequeños de $\epsilon$ porque hemos hecho una aproximación lineal. Pero independiente de esta declaración, aviso que el infinitesimal versión de la transformación es rigurosamente definido.
Relación con la Mentira de grupos y álgebras de Lie.
Considere la posibilidad de una Mentira grupo $G$. Esto es esencialmente un grupo $G$, que también puede ser pensado como un suave colector de tal manera que el grupo de la multiplicación y de la inversa de los mapas son también suave. Cada elemento de este grupo puede ser considerado como una transformación, y se puede considerar un suave, de un parámetro de la familia de los elementos del grupo $g_\epsilon$ con la propiedad de que $g_0 = \mathrm{id}$, la identidad en el grupo. A continuación, como en el anterior, podemos definir un infinitesimal versión de esta familia de un parámetro de transformaciones;
$$
\widehat g_\epsilon = \mathrm{id} + \epsilon v
$$
El coeficiente $v$ de $\epsilon$ en este primer orden de aproximación es, básicamente, (esto es exactamente cierto para la matriz Mentira grupos) un elemento de la Mentira de álgebra de la Mentira de grupo. En otras palabras, la Mentira álgebra elementos infinitesimales generadores de lisa, de un parámetro familias de Lie del grupo de elementos que se inician en la identidad del grupo. Para la rotación del ejemplo anterior, la matriz de
$$
\begin{pmatrix}
0& -1\\
1& 0\\
\end{pmatrix}
$$
es por lo tanto un elemento de la Mentira álgebra $\mathfrak {} (2)$ de la Mentira de grupo $\mathrm {} (2)$ de rotaciones del plano Euclidiano. Como resulta de las transformaciones asociadas con la Mentira grupos están por todo el lugar en la física (en particular en la física de partículas elementales y la teoría de campo), por lo que el estudio de estos objetos se vuelve muy poderosa.
La invariancia de un lagrangiano.
Supongamos que tenemos una de Lagrange $L(q,\dot q)$ definidas en el espacio (tangente paquete de configuración manfiold de un sistema clásico) de la generalizada posiciones $p$ y velocidades $\dot q$. Supongamos, además, que tenemos una transformación $T_\epsilon$ definidos en este espacio, entonces decimos que el Lagrangiano es invariante bajo esta transformación siempre
$$
L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q)
$$
El Lagrangiano se dice ser infinitesimalmente invariante bajo $T_\epsilon$ proporcionado
$$
L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q) + \mathcal O(\epsilon^2)
$$
En otras palabras, es invariante a primer orden en $\epsilon$. Como usted puede ver fácilmente, infinitesimal de la invariancia es más débil que la invariancia.
Curiosamente, sólo infinitesimal de la invariancia de la lagrangiana es necesario para ciertos resultados (en particular del teorema de Noether) para celebrar. Esta es una razón por la infinitesimal transformaciones, y por lo tanto se encuentran los grupos y álgebras de Lie, son útiles en la física.
Aplicación: el teorema de Noether.
Vamos a una de Lagrange $L:\mathscr C\times\mathbb R$ si $\mathscr C$ es que algunos lo suficientemente bien educados espacio de trayectorias en el espacio de configuración $P$. Dada una familia de un parámetro de transformaciones $T_\epsilon:\mathscr C\a\mathscr C$ partir de la identidad. El primer cambio de orden en el Lagrangiano en virtud de esta transformación es
$$
\delta L(q,t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}L(T_\epsilon(q),t)\Big |_{\epsilon=0}
$$
Uno (no el más) de la versión de Noether del teorema dice que si $L$ es local en $c$ y sus primeras derivadas, es decir, si hay una función $\ell$ tales que (en coordenadas locales en $Q$) $L(q,t) = \ell(q(t), \dot q(t), t)$ y si
$$
\delta L(q,t) = 0
$$
para todos $c\in\mathscr C$) que satisfacen la ecuación de movimiento, es decir, si el Lagrangiano de exposiciones infinitesimal de la invariancia, entonces la cantidad
$$
G = \frac{\partial \ell}{\parcial \dot q^i}\delta q^i, \qquad \delta q^i(t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}T_\epsilon(q)^i(t)\bigg|_{\epsilon=0}
$$
se conserva a lo largo de las soluciones a las ecuaciones de movimiento. La prueba es que un par de líneas; sólo se diferencian de $G$ evaluado en una solución con respecto al tiempo y el uso de la regla de la cadena y la de Euler-Lagrange las ecuaciones para mostrar es cero.
