Suma de funciones tangente cuando los argumentos son específicos de la aritmética de la serie

Question

Mirando a través de un libro, me encontré con esta interesante serie

Probar que:

$$\tan(\theta)+\tan \left(\theta+ \frac{\pi}{n} \right) + \tan(\theta + \frac{2\pi}{n}) + \dots + \tan \left (\theta + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) = -n\cot \left(\frac{n\pi}{2} + n\theta \right)$$

He probado el de Gauss emparejamiento truco y el uso de:

$$\tan A + \tan B = \tan(A+B) (1-\tan A \tan B)$$

Y

$$\tan A \tan B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{\cos(A-B)+\cos(A+B)}$$

Sin embargo, yo no podía hacer nada de gran utilidad.

Yo también considera que tal vez las raíces de la unidad de:

$$z^{2n} = \cos \theta + i\sin \theta$$

Pero que creció a ningún uso real, pero puede ser una idea para los demás.

Sé que puedo suma de una serie aritmética de los argumentos de las funciones seno y coseno, pero no puedo encontrar una fuente en internet acerca de la función tangente.

Gracias.

Answer 1

$$\tan rx=\frac{\binom r1\tan x-\binom r3\tan^3x+\cdots}{1-\binom r2\tan^2x+\cdots}\text{ (Proof below) }$$

Ahora, si $\tan rx=\tan r\theta\implies rx=n\pi+r\theta$ donde $n$ es cualquier entero

$\implies x=n\frac{\pi}r+\theta$

Si $r$ es incluso, $=2m$(decir) $$\tan2m\theta=\tan2mx=\frac{\binom {2m}1\tan x-\binom {2m}3\tan^3x+\cdots+\binom {2m}{2m-1}(-1)^{m-1}\tan^{2m-1}x}{1-\binom {2m}2\tan^2x+\cdots+(-1)^m\tan^{2m}x}$$

$$\implies (\tan2m\theta)\tan^{2m}x+(2m)\tan^{2m-1}x+\cdots=0$$

Esta es una $2m$ grado de la ecuación en $\tan x$

Por eso, $\sum_{0\le n<2m}\tan\left(n\frac{\pi}r+\theta\right)=-\frac{2m}{\tan 2m\theta}=-2m\cot(2m\theta)$

Para $n=2m,-n\cot \left(\frac{n\pi}{2} + n\theta \right)=-2m\cot(m\pi+2m\theta)=-2m\cot(2m\theta)$

Asimismo, para $n$ es impar

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Prueba:

El uso De la fórmula de Moivre,

$$\sin rx=\binom r1\cos^{r-1}x\sin x-\binom r3\cos^{r-3}x\sin^3x+\binom r5\cos^{r-5}x\sin^5x-\cdots$$ $$=\cos^nx\left(\binom r1 \tan x-\binom r3\tan^3x+\binom r5\tan^5x-\cdots\right)$$ y

$$\cos rx=\cos^rx-\binom r2\cos^{r-2}x\sin^2x+\binom r4\cos^{r-4}x\sin^4x-\cdots$$ $$=\cos^nx\left(1-\binom r2\tan^2x+\binom r4\tan^4x-\cdots\right)$$

En la división,

$$\tan rx=\frac{\binom r1\tan x-\binom r3\tan^3x+\binom r5\tan^5x-\cdots}{1-\binom r2\tan^2x+\binom r4\tan^4x-\cdots}$$