La primera pregunta en sí es bastante fácil de responder con un no.
$\newcommand{\ax}[1]{\mathsf{#1}}\newcommand{\MA}{\ax{MA}}\newcommand{\DC}{\ax{DC}}\newcommand{\AD}{\ax{AD}}\newcommand{\ZF}{\ax{ZF}}\newcommand{\BPI}{\ax{BPI}}\MA$
es un muy "local" axioma. Simplemente sugerencias de que una clase de parcial de las órdenes cuya cardinalidad es menor que el continuum satisfacen una cierta propiedad.
Deje $M$ ser cualquier modelo de $\ax{ZFC}+\MA$, con el continuum tan grande como desee, y se puede extender a un modelo de $\ZF$, $N$, en la que todo el principio de elección mencionado fallar y $\Bbb R^M=\Bbb R^N$. En particular, esto nos dice que $\MA$ mantiene en $N$.
En la otra dirección, $\AD$ implica $\ax{CH}$ (en el sentido de que cada innumerable conjunto de los números reales tiene un tamaño continuum), por lo que es vacuously cierto que $\MA$ mantiene. Queremos preguntar si o no $\MA(\aleph_1)$ mantiene, pero no estoy seguro de cómo responder a eso.
A la segunda respuesta, tenemos que añadir el requisito de que $\kappa<2^{\aleph_0}$ (incluso si los números reales no puede ser bien ordenado), pero incluso entonces el de arriba muestra que podemos tener para exigir a la de los conjuntos de conjuntos de números reales. Que cada familia de $\kappa$ no vacía de conjuntos de números reales tiene una función de elección. La prueba es casi obvia, utilizando el conjunto finito de elección de las funciones ordenadas por $\supseteq$. Si este poset es demostrablemente c.c.c. a continuación, $\MA(\kappa)$ va a demostrar la existencia de una función de elección, pero en el momento en que no sé cómo probar que esto es c.c.c. (y no estoy 100% seguro de que es cierto).
Aquí es un papel que puede ser de su interés. Shannon, del G. P. Comprobable formas de Martin Axioma, la catedral de Notre Dame, J. la Lógica Formal 31, Número 3 (1990), 382-388.
