¿Cuáles son algunas aplicaciones del teorema de la densidad de Chebotarev?

Question

Dejemos que $L/K$ sea una extensión de Galois de campos numéricos y sea $\mathcal{C}$ sea una clase de conjugación en $Gal(L/K)$ . Sea $\mathbb{P}(K)$ sea el conjunto de todos los ideales primos en $K$ y que $\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}} \right)$ corresponden a la clase de conjugación asociada de los elementos de Frobenius que viven sobre $\mathfrak{p}$ (por supuesto sin ramificar) y supongamos $A=\left\lbrace \mathfrak{p}\in P(K) \mid \left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}} \right)=\mathcal{C} \right\rbrace$ .

Entonces el Teorema de la Densidad de Chebotarev establece que $\delta(A)=\frac{|C|}{[L:K]}$ .

Esto también es una generalización del teorema de la densidad de Frobenius.

Para números enteros positivos $a,n$ tal que $\gcd(a,n)=1$ CDT para $K=\mathbb{Q}$ y $L=\mathbb{Q}(\zeta_n)$ y $\mathcal{C}=\lbrace \zeta_n \to \zeta_n^a \rbrace$ da el teorema de Dirichlet de la infinitud de los primos en la progresión aritmética.

Me gustaría preguntar qué otras aplicaciones tiene este teorema.

Answer 1

¡Las aplicaciones son ENORMES! Permítanme mencionar sólo dos.

1) La densidad de Chebotarev responde a una cuestión importante en el estudio de los campos numéricos:

¿Qué información contienen los primos divisores?

Para precisar un poco más, definamos para una extensión $L/K$ de campos numéricos el conjunto de dividir los primos de la siguiente manera:

$$\text{Spl}(L/K)=\left\{\mathfrak{p}\text{ a prime of }\mathcal{O}_K:\mathfrak{p}\text{ splits completely in }\mathcal{O}_L\right\}$$

Este es un objeto de extrema importancia para nosotros en la teoría de números. De hecho, se podría decir que dada una extensión $L/K$ nuestro principal interés teórico de los números en $L$ es determinar $\text{Spl}(L/K)$ . Por lo tanto, se presenta una pregunta obvia: ¿qué información precisamente está contenido en el conjunto $\text{Spl}(L/K)$ ?

La respuesta es hermosa:

Teorema: Dejemos que $L_1,L_2/K$ sean dos extensiones de campo numérico de $K$ . Entonces, lo siguiente es equivalente:

1. $L_1$ y $L_2$ tienen los mismos cierres de Galois.
2. Los conjuntos $\text{Spl}(L_1/K)$ y $\text{Spl}(L_2/K)$ son iguales.
3. Los conjuntos $\text{Spl}(L_1/K)$ y $\text{Spl}(L_2/K)$ son casi igual .

Aquí "casi igual" significa que sólo hay un número finito de números primos que no están contenidos en ninguno de los dos.

Así que, ¡este teorema es INCREÍBLE! Te dice que la cuestión teórica de los números que siempre nos ha interesado, qué primos se dividen completamente, no es sólo una cuestión de importancia teórica de los números, sino de importancia teórica de los campos. En particular, conocer el cierre de Galois de un campo (teoría de campos) es lo mismo que conocer su conjunto de primos divididos (teoría de números).

Esto también demuestra que mientras, a priori Si se conocen sólo los números primos divididos, sólo se obtiene una información teórica de los números, pero no se sabe todo. A saber, los primos partidos no deberían, a priori , te hablan de los primos ramificados, etc. Pero, si su extensión es Galois, entonces lo anterior le dice que los primos divididos saben de $L$ y así, por supuesto, conocer los otros datos de la teoría de los números.

Bien, excelente, este es un hermoso teorema. ¿Qué tiene que ver con la densidad de Chebotarev? Bueno, ¡todo! A saber, la prueba de este teorema es esencialmente la densidad de Chebotarev. Permítanme dar un esquema a continuación:

Prueba: Supongamos primero que $L_1$ y $L_2$ tienen el mismo cierre de Galois, llámalo $L$ . Entonces, la teoría elemental de números algebraicos muestra que

$$\text{Spl}(L_1/K)=\text{Spl}(L/K)=\text{Spl}(L_2/K)$$

lo que demuestra que 1. implica 2.

A la inversa, supongamos que $\text{Spl}(L_1/K)=\text{Spl}(L_2/K)$ . Entonces, si $L_i'$ denota los cierres de Galois de $L_i$ entonces $\text{Spl}(L_1'/K)=\text{Spl}(L_2'/K)$ .

Pero, nótese entonces que, de nuevo por la teoría básica de los números, esto implica que

$$\text{Spl}(L_1'/K)=\text{Spl}(L_1'L_2'/K)=\text{Spl}(L_2'/K)$$

Pero, considerando la densidad de Chebotarev, como todas estas extensiones son de Galois, deducimos que las siguientes densidades son iguales

$$\frac{1}{[L_1':K]}=\frac{1}{[L_1'L_2':K]}=\frac{1}{[L_2':K]}$$

que, en particular, muestra que $[L_i':K]=[L_1'L_2':K]$ lo que implica que $L_1'=L_1'L_2'=L_2'$ que muestra que $L_1'=L_2'$ como se desee. $\blacksquare$

Como aplicación de este teorema, deducimos la idea principal de la Teoría del Campo de Clases:

Idea: Extensiones de $K$ para los que los datos sobre la extensión son totalmente "internos a K" son precisamente las extensiones abelianas.

Un ejemplo riguroso de esto es:

Teorema: Si $K/\mathbb{Q}$ es una extensión de Galois tal que el comportamiento de división está determinado $\mod N$ para algún número entero $N$ entonces $K$ es abeliano (de hecho está contenido en $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ ).

Si quieres leer más sobre esta aplicación, puedes ver la entrada de mi blog aquí .

2) La segunda idea proviene de la teoría de las representaciones de Galois. En concreto, digamos que un $\ell$ -Representación de Galois de los ádicos de $K$ (un campo numérico) es un homomorfismo de grupo continuo

$$\rho:G_K\to\text{GL}_n(\overline{\mathbb{Q}_\ell})$$

Estos son EXTREMADAMENTE importantes en la teoría numérica moderna, en formas en las que no voy a entrar aquí. Pero, una cuestión interesante es la poca información que se necesita para determinar $\rho$ . ¿Qué datos tenemos que calcular para saber que hemos caracterizado de forma única $\rho$ ?

Si $\rho$ está sin ramificar en casi todas partes, la respuesta es muy satisfactoria. Decimos que $\rho$ es sin ramificaciones en casi todo el mundo si es un factor a través de $G_{K,S}=\text{Gal}(K^S/K)$ , donde $K^S$ es la máxima extensión de $K$ no ramificado fuera de $S$ para un conjunto finito $S$ de los primos de $K$ .

Estos son los tipos más importantes de representaciones de Galois, generalmente sólo se consideran representaciones de esta forma. En particular, todas las "representaciones geométricas de Galois", las que provienen de la geometría (por ejemplo, el módulo de Tate de una variedad abeliana), son unramificadas en casi todas partes.

El resultado es entonces el siguiente:

Teorema: Dejemos que $\rho_1:G_{K,S}\to\text{GL}_n(\overline{\mathbb{Q}_\ell})$ y $\rho_2:G_{K,T}\to\text{GL}_n(\overline{\mathbb{Q}_\ell})$ sean dos representaciones de Galois no ramificadas en casi todas partes. Entonces, $\rho_1=\rho_2$ si y sólo si

$$\text{tr}(\rho_1(\text{Frob}_\mathfrak{p}))=\text{tr}(\rho_2(\text{Frob}_\mathfrak{p}))$$

para todos $\mathfrak{p}\notin S\cup T$ .

Permítanme explicar la notación anterior. Para $\mathfrak{p}\notin S$ existe una clase de conjugación de Frobenius bien definida $\text{Frob}_\mathfrak{p}\in G_{K,S}$ . De hecho, se puede entender esto en términos elementales como la escritura $K^S$ como una unión de extensiones finitas de $K$ . Entonces, dado que cada una de estas extensiones está unramificada en $\mathfrak{p}$ tienen una clase de conjugación de Frobenius, y así obtenemos una en la unión.

Entonces, $\text{tr}(\rho(\text{Frob}_\mathfrak{p}))$ denota la traza de la imagen de cualquier elemento de $\text{Frob}_\mathfrak{p}\subseteq G_{K,S}$ . Por supuesto, es independiente de la elección, ya que la función de traza ignora la conjugación.

Por lo tanto, este teorema nos dice que la enorme cantidad de datos englobados en $\rho$ está, de hecho, contenida en este conjunto MUCHO más pequeño de las huellas de los Frobenii. ¡Increíble!

La prueba se basa en dos hechos:

a) El teorema de Brauer-Nesbitt .

b) El hecho de que las clases de conjugación de Frobenius $\{\text{Frob}_\mathfrak{p}\}_{\mathfrak{p}\notin S}$ son densos en $G_{K,S}$ .

El primero de ellos es un resultado clásico del álgebra. Pero, b) es, a todos los efectos, la "misma cosa" que la densidad de Chebotarev. Ejercicio: ¡utiliza la densidad de Chebotarev para demostrar b)!

Answer 2

Una de mis aplicaciones favoritas es una sencilla a los grupos de clases y la factorización única en anillos de enteros.

Fijar un campo numérico $K/\mathbf{Q}$ . En un primer curso de teoría algebraica de números, se encuentra el grupo de clases $\mathrm{Cl}(K)$ y demostrar que $\mathcal{O}_K$ tiene una factorización única si y sólo si $h_K = \# \mathrm{Cl}(K) = 1$ . Esto suele ir seguido de una afirmación parecida a "el grupo de clases mide el fracaso de la factorización única". Pero el resultado anterior sólo dice algo sobre si $h_k = 1$ o $h_K > 1$ la declaración informal implica que de alguna manera el mayor $h_K$ es que la factorización única debería fallar de alguna manera "más a menudo".

Esto se puede precisar con la teoría del campo de clases y Chebotarev. Sea $H/K$ sea el campo de clase Hilbert de $K$ por lo que la teoría del campo de clases da un isomorfismo canónico $\mathrm{Cl}(K) \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathrm{Gal}(H/K)$ que toma un primo $\mathfrak{p}$ a su correspondiente elemento de Frobenius. En particular, un primo está totalmente dividido en $H/K$ si y sólo si es principal. Pero Chebotarev dice que los primos totalmente divididos tienen densidad $\frac{1}{\# \mathrm{Gal}(H/K)} = \frac{1}{\# \mathrm{Cl}(K)} = \frac{1}{h_K}$ por lo que la densidad de primos principales es la inversa del número de clase.

Answer 3

Una aplicación muy importante de la CDT en la teoría de los números se refiere a la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas, a saber, que para todo número entero no cuadrado $a\neq0,\pm1$ existen infinitos primos $p$ para lo cual $\mathbb{F}_p^*=\langle a\rangle$ es decir $a$ es una raíz primitiva módulo $p$ . Esta conjetura ha sido demostrada bajo GRH por Hooley y la principal herramienta utilizada fue, de hecho, la CDT (junto con su término de error que bajo GRH se vuelve adecuado para las sumas involucradas).

El concepto principal: $a$ NO es una raíz primitiva mod $p$ si para algunos $q\mid(p-1)$ tienes $a^{(p-1)/q}\equiv 1$ mod $p$ y esto equivale a decir que el primer $p$ se divide completamente en la extensión kummeriana $\mathbb{Q}(\zeta_q,a^{1/q})/\mathbb{Q}$ . Entonces, si quieres $a$ para ser una raíz primitiva mod $p$ tienes, por CDT, una probabilidad $$1-\frac1{[\mathbb{Q}(\zeta_q,a^{1/q}):\mathbb{Q}]}\;.$$ Para la conjetura de Artin, se piensa en fijar un determinado $q$ y cuidar de esos primos $p$ que no se dividen completamente en la extensión Kummer relacionada. Ahora, tenga en cuenta que esto es sólo la idea básica detrás de la prueba de Hooley, ya que debe ser consciente de utilizar el principio de inclusión-exclusión para evitar el recuento múltiple para aquellos primos que no se dividen en algunas extensiones, el hecho de que los eventos " $p$ no se divide completamente en $K_1/\mathbb{Q}$ '' y " $p$ no se divide completamente en $K_2/\mathbb{Q}$ '' no son en general independientes y, lo que es más importante, cuando $q$ tiende a infinito tienes una suma infinita cuyo comportamiento depende del término de error de la CDT: si asumes GRH puedes manejar los errores, de lo contrario abruman el término principal que te interesa.

Answer 4

Intentaré dar una aplicación elemental que he encontrado. Supongamos que $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ es un polinomio irreducible de grado al menos $2$ . Demostraremos que hay infinitos primos $p\in \mathbb{Z}$ tal que $\overline{f}\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ no tiene raíz.

Dejemos que $K=\mathbb{Q}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ donde $\alpha_i$ son raíces distintas de $f(x)$ en $\mathbb{C}$ . El grupo de Galois $Gal(K/\mathbb{Q})$ actúa transitoriamente sobre las raíces $\lbrace \alpha_i\rbrace$ y, por tanto, define una permutación única de $n$ elementos. Por lo tanto, podemos pensar en $Gal(K/\mathbb{Q})$ como un subgrupo de $S_n$ . Para $T_1=\mathbb{Q}(\alpha_1)$ vemos que $Gal(K/T_1)$ es un subgrupo propio de $Gal(K/\mathbb{Q})$ y sus conjugados $\sigma Gal(K/T_1)\sigma^{-1}=Gal(K/T_i)$ donde $\sigma(\alpha_1)=\alpha_i$ . Como un grupo finito no puede escribirse como unión de conjugados de un subgrupo propio, hallar $\sigma \notin \bigcup Gal(K/T_i)$ . Por CDT, hay infinitos primos $p\in \mathbb{Z}$ tal que existe un primo $\mathfrak{p}$ por encima de $p$ y $\left[\frac{K/\mathbb{Q}}{\mathfrak{p}}\right]=\sigma$ . El tipo de ciclo de $\sigma$ nos indica la descomposición irreducible de $\overline{f}$ en el campo del cociente. Para $p$ como en el caso anterior, si hubiera una raíz de $\overline{f}$ en el campo de residuos de $p$ entonces $\sigma$ debe fijar una raíz de $f$ es decir, para algunos $i$ debemos tener $\sigma(\alpha_i)=\alpha_i$ , lo que implica $\sigma \in Gal(K/T_i)$ . Esto contradice nuestra elección de $\sigma$ .

Answer 5

En 1996 Pascal Koiran mostró que dado un sistema $F=0$ de $k$ ecuaciones polinómicas en $n$ variables, donde el grado máximo sobre todos los monomios es $D$ y el tamaño de los bits del coeficiente mayor es $h$ se puede determinar si el sistema tiene una solución $F=0$ en $\mathbb{C}^n$ demostrando que tiene una solución en $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ para muchos primos $p$ .

En concreto, si el sistema no tiene una solución en $\mathbb{C}^n$ entonces, incondicionalmente, por la Nullstellensatz efectiva, hay a lo sumo

$$A_F=4n(n+1)D^n(h+\log k + (n+7)\log(n+1)D$$

primos $p$ tal que $F=0\mod p$ .

Asimismo, si el sistema hace tienen una solución en $\mathbb{C}^n$ entonces, por el teorema del ideal primo, incondicionalmente existe una densidad positiva de primos $p$ módulo en el que hay una solución.

El desenlace es que, condicionado a la Hipótesis de Riemann Generalizada, por la Densidad Efectiva de Chebotarev, Koiran demostró que estos primos $p$ se distribuyen de forma suficientemente "uniforme" como para poder aplicar los trucos habituales de hashing universal para dar un pequeño certificado de que el sistema $F=0$ es probable que sea satisfacible modulo más de $2A_F$ primos $p$ y, por lo tanto, es probable que se pueda satisfacer en $\mathbb{C}^n$ . Esencialmente, se encuentra un primo $q$ tal que $F$ es satisfacible en $\mathbb{Z}/q \mathbb{Z}$ y $H(q)=0$ para una bonita función hash aleatoria $H$ mostrando así que es probable que haya suficientes primos $q$ para invertir $H$ por lo que es probable que haya bastantes primos, módulo en el que $F=0$ tiene una solución.

Como un bono que es una respuesta en sí mismo, en 2011 Kuperberg aplicado Los resultados de Koiran para dar un pequeño certificado de anudamiento para un diagrama de nudos (de nuevo condicionado al Chebotarev efectivo por medio del GRH.)