¿Cómo puedo construir un intervalo de confianza asintótico para un parámetro real, partiendo de la MLE para ese parámetro?
Respuesta
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Utilice el hecho de que para una muestra i.i.d. de tamaño $n$ dadas algunas condiciones de regularidad, la MLE $\hat{\theta}$ es un estimador consistente del verdadero parámetro $\theta_0$ y su distribución es asintóticamente normal, con una varianza determinada por el recíproco de la información de Fisher:
$$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$$ donde $\mathcal{I}_1(\theta_0)$ es la información de Fisher de una sola muestra. La información observada en el MLE $I(\hat{\theta})$ tiende a la información esperada asintóticamente, por lo que se pueden calcular intervalos de confianza (digamos del 95%) con
$$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$$
Por ejemplo, si $X$ es una variante de Poisson truncada por cero, se puede obtener una fórmula para la información observada en términos de la MLE (que hay que calcular numéricamente): $$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$$
$$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$$
$$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$$
$$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$$
Entre los casos notables excluidos por las condiciones de regularidad se encuentran aquellos en los que
- el parámetro $\theta$ determina el soporte de los datos, por ejemplo, el muestreo de una distribución uniforme entre cero y $\theta$
- el número de parámetros molestos aumenta con el tamaño de la muestra
