¿Por qué es que cualquier unión de abiertos es abierta, pero sólo *un número finito de* intersecciones de bloques abiertos es abierto?

Question

Entiendo que cuando hablamos de la unión de bloques abiertos, presentamos un conjunto de índices que pueden ser contables o incontables. Pero no podía hacer lo mismo por la intersección de abrir sets también?

Answer 1

Generalmente esto se remonta a la base del concepto de convergencia de una secuencia y el llamado Hausdorff'sche Umgebungsaxiome (ver: Felix Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig, 1914).

Intuitivamente, la convergencia de una secuencia a un punto medio, que en cada barrio de la punta, se pueden encontrar casi todas las partes de la secuencia.

La matemática de la versión de que el concepto es el nombre de cada punto de $x$ de un conjunto $X$ a determinados subconjuntos como los barrios de este punto de la satisfacción de las siguientes llamado Hausdorff'sche Umgebungsaxiome (barrio = germen. "Umgebung"):

1. $x$ pertenece a cada uno de sus barrios.
2. Cualquier superconjunto de un barrio de $x$ es de nuevo un barrio de $x$ (esp. $X$ es un barrio de $x$).
3. La intersección de dos barrios de $x$ es de nuevo un barrio de $x$.
4. Cada uno de los vecindarios $U$ $x$ contiene un vecindario $V$ $x$ tal que $U$ es una vecindad de cada punto de $V$.

Sobre esta base, se define un subconjunto de a $X$ a ser abierto si es un barrio de cada uno de sus puntos (f.yo. un disco circular en $R^2$ sin su borde).

Abierto son exactamente aquellos subconjuntos que contienen sólo "interna" de los puntos (y ninguno de los dos "puntas" o "edge-points") en el sentido de que en cualquier punto en el conjunto abierto un barrio puede ser especificado, que está completamente contenida en el conjunto abierto.

A partir de esto se puede derivar siguientes teoremas:

1. El conjunto vacío y el espacio en sí están abiertos.
2. La intersección de dos conjuntos es abierto.
3. La unión de cualquier número de bloques abiertos es abierta.
4. Un subconjunto $U$ es exactamente entonces un barrio de $x$, si existe un conjunto abierto $O$$x \in O \subset U$.

Si en lugar de Hausdorffs axiomas uno toma los teoremas 1 3 como axiomas y teorema 4 como una definición de la vecindad, a continuación, uno sale con la definición habitual de una topología:

Deje $X$ ser un conjunto. Un sistema de $T$ de los subconjuntos de a $X$ se llama una topología en $X$, si:

1. $∅ \in T, X \in T$,
2. $O_1, O_2 \in T ⇒ O1 \cap O2 \in T$,
3. $S \subset T ⇒ (\bigcup_{S'∈S} S') ∈ T$.

Esto muestra que "el finito intersecciones, así como arbitraria sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos" es una generalización de las propiedades de los conjuntos" se define en términos de "barrios" que donde define a obtener un significado preciso de la idea de la convergencia de una secuencia.

Answer 2

Prueba por ejemplo!

Considere la posibilidad de los números reales, y una secuencia de cada vez más pequeñas abrir los intervalos alrededor de cero: (-1,1), (-1/2,1/2), (-1/3,1/3), ...

Si tomamos cualquier unión de cualquiera de estos conjuntos, entonces cualquier punto en el que la unión tendrá un poco de vecindad alrededor de ella (se puede ver por qué?).

Para las intersecciones, no es tan simple.

Si tomamos un número finito de conjuntos y tomar su intersección, entonces todavía obtener un conjunto abierto (sugerencia: ¿por qué es la intersección de dos conjuntos abiertos todavía?)

Pero si tomamos el infinito intersección, el único punto que está en todos los intervalos de 0.

Y 0 en su propia no es un conjunto abierto, ya que 0 no tiene un poco de vecindad alrededor de ella.

Si usted entiende por qué eso es cierto, usted no debería tener problemas para ver más generalmente.

Answer 3

Tal vez esto sería más fácil si está motivado por el espacio métrico contexto. Si $(X,d)$ es un espacio métrico, un subconjunto $U \subset X$ es abierto si para todas las $x \in X$, hay algunos balón $B(x,r)$ de algunos radius $r > 0$, en torno a $x$ tal que $B(x,r) \subset U$. Ahora supongamos que tenemos una familia de abrir conjuntos de $U_i$ $i \in I$ algunos de indexación conjunto. La cuestión es, fundamentalmente, una lógica de cuantificadores.

(Los sindicatos) Si dejamos $U$ ser la unión de la $U_i$, entonces si $x \in U$, debemos tener $x \in U_i$ algunas $i$. Hay una bola de $B(x,r) \subset U_i$. Y por definición de unión de $B(x,r) \subset U$. Crucial es que en todas partes, aquí sólo tenemos que verificar que "existe una $i$ (...)"

(Intersección) En el otro lado $U$ es la intersección de a $U_i$. Si $x \in U$ $x \in U_i$ para todos los $i$. Podemos encontrar una bola de $B(x,r_i) \subset U_i$ por cada $i$. Supongamos que esta pelota es elegido con la máxima posible de radio. Si había una bola de $B(x,r) \subset U$ $x$ $B(x,r) \subset B(x,r_i)$ por cada $i$ por la máxima radio de asunción. Por lo tanto $r < r_i$,e $r \leq \inf_{i \in I}(r_i)$ funcionaría. Pero ahora tenemos un problema, porque a menos que el conjunto de índices $i$ es finita, es totalmente posible que la familia de $\{r_i\}$ $0$ como es infimum. Esto es debido a que para comprobar $B(x,r)$ estaba contenida en $U$ queremos comprobar $B(x,r) \subset U_i$ para todos los yo.

Answer 4

¿Por qué es que.. sólo un número finito de intersecciones de bloques abiertos es abierto?

En el contexto de la métrica de los espacios, esto es debido a que:

1. Cada conjunto finito $X$ de los números reales positivos tiene un resultado positivo de límite inferior.

2. Un conjunto infinito $X$ de los enteros positivos no puede tener un positivo límite inferior. Por ejemplo, $\{\frac{1}{1+n} : n \in \mathbb{N}\}$ es un conjunto de números positivos con ningún positivo límite inferior. (Por definición, el cero no es positivo.)

Por lo tanto, cuando tratamos de demostrar que la intersección de una familia de $\cal O$ de bloques abiertos en sí es abierto, se presenta la necesidad de asumir que $\cal O$ es finito. Aquí los detalles.

Definición. Deje $X$ denotar un espacio métrico. Llame a $O \subseteq X$ abrir iff existe una radio de la función en $O$, es decir una función de $f : O \rightarrow (0,\infty]$ tal que para todos los $x \in O$, la bola de radio $f(x)$ $x$ es un subconjunto de a $O$. (Esta definición no es estándar, pero equivalente a la definición habitual.)

La proposición. Deje $X$ denotar un espacio métrico y supongamos $\mathcal{O}$ es una familia de subconjuntos abiertos de $X$. Escribir $S$ para la intersección. A continuación, $S$ está abierto.

Prueba. Dado que todos los $O \in \mathcal{O}$ es abierto, por lo tanto, no es una radio de la función $f_O$ $O$ por cada $O \in \mathcal{O}.$

Ahora considere el $x \in S$. El objetivo es encontrar un número real positivo $r$ de manera tal que la bola de radio $r$ centrada en $x$ es un subconjunto de a $S$. Desde $x$ es un elemento de $S,$ y desde $S$ es la intersección de a $\mathcal{O},$ por lo tanto $x$ es un elemento de $O$ por cada $O \in \mathcal{O}$. Por lo tanto $f_O(x)$ está bien definido para cada $O \in \mathcal{O}$. Desde $\{f_O(x) \mid O \in \cal O\}$ es un conjunto finito de números reales positivos, por lo tanto tiene un positivo límite inferior. Definir $r$ a cualquier límite inferior.

El objetivo es mostrar que la bola de radio $r$ centrada en $x$ es un subconjunto de a $S$. Para cada $O \in \mathcal{O}$, ya que la bola de radio $f_O(x)$ $x$ es un subconjunto de a $O$, y desde $f_O(x) \geq r$, por lo tanto la bola de radio $r$ $x$ es un subconjunto de a $O$. Por lo tanto la bola de radio $r$ $x$ es un subconjunto de a $S$, según se requiera.

Answer 5

Consideremos el conjunto de todos los conjuntos que contienen sólo un punto particular en el espacio Euclidiano. Si te gusta, llame a su punto de origen, así que estamos hablando sobre el conjunto de todos los conjuntos que contienen el origen.

Su intersección contiene sólo que un punto. Eso no es un conjunto abierto.

Una arbitraria de la unión de abrir establece incluye como un subconjunto algunas abrir barrio de cada uno de sus puntos. Por tanto, tiene sentido definir las cosas de tal manera que un conjunto es abierto.

PS: no es estrictamente necesario el uso de un conjunto de índices cada vez que se habla de un sindicato o de una intersección. Aviso que no me refiero a cualquier conjunto de índices en mi primera frase anterior. Mencionar un conjunto de índices en el ejemplo particular sería el desorden que hace aparecer las cosas más complicadas de lo que realmente son.