Demostrar que hay no $x,y ∈ \mathbb N$ que $x^2-y^2 = 10$

Question

Empecé por factorización y consiguió $(x+y)(x-y) = 10$

Entonces traté de casos y fue capaz de demostrar los donde $x$ $y$ son iguales-> debido a que la ecuación de resultado cero.

y también donde $x < y$, debido a que la respuesta será negativa.

Cómo puedo probar al $x > y$... o es que hay una manera más fácil de hacerlo? Creo que esta es una prueba por contrapositivo?

Answer 1

$$ 10 = (x+y)(x-y). $$

Sólo hay tantas formas de factor de $10$: $$ 1\cdot10,\qquad 2\cdot5. $$ Cualquiera de las $x+y=10$ $x-y=1$ (en cuyo caso $x=5.5$) o $x+y=5$ $x-y=2$ (en cuyo caso $x=3.5$).

Answer 2

Definitivamente $x + y \ge x - y$. Así que usted puede considerar los siguientes casos: $x + y = 10$ $x - y = 1$ o $x + y = 5$$x - y = 2$. Es fácil ver que en ambos casos $x$ $y$ no son enteros.

Answer 3

(Yo normalmente han hecho de este argumento. Pero hay muchas maneras de proceder. Por ejemplo, la idea aquí es que las plazas de llegar más lejos y más lejos, así que cuando $x$ $y$ son grandes, la diferencia de $x^2-y^2$ es demasiado grande para ser de 10. Después de la eliminación de estos, sólo un número finito de casos están a la izquierda.)

Claramente $x>y$, lo $k = x-y$ es positivo. A continuación, queremos $(y+k)^2 - y^2 = 10$, lo $k^2 + 2yk= 10 $. Esta es una función creciente de $k$$y$, y ya es demasiado grande cuando $y\ge5$ o $k\ge3$. Tenemos pues, en la mayoría de los 8 casos a examinar, que consta de $y\in\{1,2,3,4\}$$k\in\{1,2\}$. Estos dan, respectivamente:

$$\begin{array}{c|rr} & 1 & 2 \\ \hline 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 12 \\ 3 & 7 & 16 \\ 4 & 9 & 20 \\ \end{array}$$

Por lo que no es.

(Los elementos de la tabla son, precisamente, los posibles valores de $x^2-y^2$ pequeña $x$$y$; por ejemplo,$16 = 5^2 - 3^2$. El argumento muestra que, para la mayor $x$ o $y$, las diferencias $x^2-y^2$ son todos de más de 10.)

Answer 4

En general, un número de $n\in\mathbb N$ es una diferencia de dos cuadrados, $n=x^2-y^2$, iff $n$ es impar o un múltiplo de la de $4$. Esto puede ser probado de la siguiente manera, a partir de con $n=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

Si $n$ es impar, entonces uno puede solucionar $x-y=1$ $x+y=n$ y consigue $x=\dfrac{n+1}{2}$$y=\dfrac{n-1}{2}$.

Si $n$ es un múltiplo de a $4$, entonces uno puede solucionar $x-y=2$ $x+y=\dfrac{n}{2}$ y consigue $x=\dfrac{n}{4}+1$$y=\dfrac{n}{4}-1$.

Desde $10$ no es ni extraño ni un múltiplo de $4$, no puede ser escrito como una diferencia de dos cuadrados.