Ayuda en la comprensión de $V_\omega$

Question

Deje $V_\omega$ denota el conjunto de todos los hereditariamente finitos conjuntos. Un conjunto $S$ se llama hereditariamente finito si y sólo si su clausura transitiva es finito, es decir, $TC(S) = \bigcup \{ S, \bigcup S, \bigcup \bigcup S, \dots \}$ es finito. Deje $P(S)$ denotar el poder conjunto de $S$ y deje $\omega$ denotar los números naturales.

Estoy tratando de entender lo $V_\omega$ parece y para este fin, pensé que yo podría trabajar la relación entre el$V_\omega$$P(\omega)$:

Por supuesto, desde la $V_\omega$ es un modelo de $ZFC$ sin el axioma de infinitud, ni $\omega$ ni $P(\omega)$ son elementos de $V_\omega$. Por lo tanto $P(\omega) \nsubseteq V_\omega$.

Por otro lado, $\{\{\{\varnothing\}\}\}$$V_\omega$, pero no en $P(\omega)$. Por lo tanto $V_\omega \nsubseteq P(\omega)$.

Así que esto no me va a dar ninguna información acerca de $V_\omega$. Sin embargo, desde hereditaria de la finitud es un fuerte condición de finitud ($\{\omega\}$ es un conjunto finito de que no es hereditariamente finitos) me siento tentado a pensar que quizá $V_\omega$ podría estar de alguna manera en bijection con un subconjunto de a $P(\omega)$.

Pregunta: ¿hay un bijection? Si no: ¿qué es una buena intuición para pensar acerca de $V_\omega$? ¿Qué $V_\omega$?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

$V_\omega$ consiste de exactamente los conjuntos se pueden escribir en el espacio finito utilizando sólo los símbolos {, }y ,.

Es en bijection con $\omega$, por la regla

$$f:\omega\to V_\omega \qquad f(n) = \{f(a_1),f(a_2),\ldots,f(a_{k_n})\}$$ donde $n=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{k_n}}$ y todos los $a_i$s son diferentes.

(Este bijection proporciona el estándar de la prueba de que la Aritmética de Peano es equiconsistent con ZFC$-$Infinito).