No. Tenemos el siguiente resultado.
La proposición. Deje $X$ ser real o complejo espacio vectorial. A continuación, $X$ pueden ser equipadas con un completo norma si y sólo si existe un centro de producto en $X$ cuyo correspondiente norma es completa.
Para un espacio topológico $X$, denotan por $d(X)$ la densidad de $X$, es decir, la cardinalidad mínima de un denso conjunto en $X$. Se denota la cardinalidad del continuo por $\mathfrak{c}$. Ciertamente, $\mathfrak{c}=\mathfrak{c}^{\aleph_0}$, lo que vamos a necesitar.
Prueba. Es suficiente para demostrar la implicación $(\Rightarrow$). Deje $X$ ser un espacio de Banach. Sin pérdida de generalidad $X$ podemos suponer que $X$ es de dimensiones infinitas. Podemos dividir la prueba en dos casos.
Caso donde $d(X)\leqslant \mathfrak{c}$.
Sabemos que la cardinalidad $b(X)$ de cualquier Hamel base de un infinito-dimensional espacio de Banach es, al menos, $\mathfrak{c}$ . Por lo tanto,
$$\mathfrak{c}\leqslant b(X)\leqslant |X|\leqslant d(X)^{\aleph_0}\leqslant \mathfrak{c}^{\aleph_0}=\mathfrak{c},$$
que los rendimientos de $b(X)=\mathfrak{c}$[a]. Esto significa que $X$ es isomorfo como un vector en el espacio a la (separable!) El espacio de Hilbert $\ell_2$, de manera que uno puede utilizar cualquier algebraicas isomorfismo entre el $X$ $\ell_2$ a definir un conjunto completo, interior-norma de producto en $X$.
Caso donde $d(X)> \mathfrak{c}$.
Para espacios de Banach $X$$d(X)> \mathfrak{c}$, la cardinalidad de a $X$ es lo mismo que $b(X)$. Entonces tenemos $$b(X)=|X|=|\ell_2(d(X))|=b(\ell_2(d(X))),$$ so one may use any algebraic isomorphism between $X$ and the Hilbert space $\ell_2(d(X))$ to define a complete, inner-product norm on $X$. $\square$
[a]: en Realidad se tiene la igualdad de $|X|=d(X)^{\aleph_0}$ por cada infinito-dimensional espacio de Banach, pero no necesitamos aquí.
