La sed puede ser aliviado mediante la lectura del Tao el post de Interpolación de $L^p$ espacios.
Una propiedad fundamental de la $\nu_f$ es de registro-convexidad: $\log \nu_f$ es una función convexa de $1/p$. Tao da cuatro pruebas de este hecho. La cuarta prueba presenta otra propiedad: la ampliación de la gama de $p$ a de una franja vertical en el plano complejo (cuya base es un intervalo de $p_0<p<p_1$ en el que la norma es finito), llegamos a un holomorphic función de $p$. Por lo tanto, $\nu_f$ es infinitamente suave en el interior del dominio, y la derivada de $\nu_f^p$ está dado por la diferenciación de $\int |f|^p$, lo que da una integral con$\log|f|$. Este tipo de integral representa la entropía de Shannon, y la diferenciación con respecto a $p$ puede ser utilizado para probar algunas de las desigualdades de dicho entropía.
Tao también señala que $\nu_f $ está dado por los momentos de la función de distribución de $\lambda_f(t)=\mu\{|f|> t\}$ a través de
$$\nu_f^p = p \int_0^\infty t^{p } \lambda_f(t)\,\frac{dt}{t} \tag1 $$
Por lo tanto, la mayor parte de la información que podemos obtener de $\nu_f$ es la función de distribución de $f$. No siempre podemos hacerlo: por ejemplo, si $\nu_f$ es finito en un solo punto, no hay mucha información a ser obtenida a través de ella. Voy a hacer una fuerte suposición: $f$ $ L^\infty$ y su apoyo esencial tiene medida finita. Decir, $|f|\le M$.e. La integral (1) va de $0$ $M$solamente. Escribir $t=Me^{-x}$, la obtención de
$$\nu_f^p = p M^p\int_0^\infty e^{-px} \lambda_f(Me^{-x})\,dx \tag2 $$
Esta es la transformada de Laplace de $x\mapsto \lambda_f(Me^{-x})$. La última función es limitada (debido a la existencia finita medida), por lo que pueden ser recuperados a partir de la transformada de Laplace por la inversa de la transformación.
Las condiciones que sin duda puede ser debilitado un poco, pero yo tendría que leer sobre el invertibility de la Mellin transformar... ya que estamos sedientos de conocimiento, eso se lo dejo a usted.
