La intuición detrás de Matrix se invertible iff determinante es distinto de cero

Question

Me han estado preguntando acerca de esta pregunta ya que yo estaba en la escuela. ¿Cómo puede un número decir mucho acerca de la matriz completa de ser invertible o no?

Sé que la prueba de esta afirmación ahora. Pero me gustaría saber la intuición detrás de este resultado y por qué este resultado es realmente cierto.

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La prueba que tengo en mente es:

Si $A$ es invertible, entonces

$$ 1 = \det(I) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\cdot\det(A^{-1})$$

de dónde $\det(A) \neq 0$.

Por el contrario, si $\det(A) \neq 0$, tenemos

$$ A adj(A) = adj(A)A = \det(A)I$$

de dónde $A$ es invertible.

$adj(A)$ es la matriz adjunta de a $A$.

$$ adj(A)_{ji} = (-1)^{i+j}\det(A_{ij})$$

donde $A_{ij}$ es la matriz obtenida de a $A$ mediante la eliminación de $ith$ fila y $jth$ columna.

Cualquier otro perspicaz pruebas también son bienvenidos.

Answer 1

He aquí una explicación para el espacio tridimensional ($3 \times 3$ matrices). Que es el espacio en el que vivo, por lo que es uno en el que mi intuición funciona mejor :-).

Supongamos que tenemos un $3 \times 3$ matriz $\mathbf{M}$. Vamos a pensar acerca de la asignación de $\mathbf{y} = f(\mathbf{x}) = \mathbf{M}\mathbf{x}$. La matriz $\mathbf{M}$ es invertible si esta asignación es invertible. En ese caso, dado $\mathbf{y}$, se puede calcular el correspondiente $\mathbf{x}$$\mathbf{x} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{y}$.

Vamos $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ ser vectores 3D que forman las columnas de a $\mathbf{M}$. Sabemos que $\det{\mathbf{M}} = \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$, que es el volumen de la parallelipiped tener $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ como es bordes.

Ahora vamos a pensar sobre el efecto de la asignación de $f$ en el "basic" cubo cuyas aristas son los tres ejes vectores $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$. Se puede comprobar que $f(\mathbf{i}) = \mathbf{u}$, $f(\mathbf{j}) = \mathbf{v}$, y $f(\mathbf{k}) = \mathbf{w}$. Por lo que la asignación de $f$ deforma (tijeras, escalas) el básico cubo, convirtiéndose en el parallelipiped con lados $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$.

Dado que el determinante de a $\mathbf{M}$ da el volumen de este parallelipiped, mide el "volumen de cambiar el" efecto de la asignación de $f$. En particular, si $\det{\mathbf{M}} = 0$, esto significa que la asignación de $f$ aplasta el básico cubo en algo plano, con volumen cero, como una forma plana, o tal vez incluso una línea. Una "calabaza-a-flat" deformación como este no puede ser invertible porque no es uno-a-uno -de-los - varios puntos del cubo se obtiene "aplastado" en el mismo punto de la deformación. Así, la asignación de $f$ (o la matriz $\mathbf{M}$) es invertible si y sólo si tiene un squash-a-flat efecto, que es el caso si y sólo si el determinante es distinto de cero.

Answer 2

Sé que esto es bastante vieja, pero para las personas que podrían encontrar en una búsqueda de google (sé que lo hice), pensé que me gustaría añadir esto.

Recuerde que el espacio de todas las $n \times n$ matrices es isomorfo al espacio de todos los operadores en un $n$-dimensional espacio vectorial. En otras palabras, la matriz es sólo un operador lineal. Recordemos que el determinante es el producto de los valores propios. Tanto en $ \mathbb{C} $ $ \mathbb{R} $ son parte integral de los dominios, por lo que si el determinante es$0$, que significa que usted tiene un autovalor cero. Eso significa que, si la matriz es $A$, existe un vector $0 \neq \overline{v} $ tal que $ (A-0I)\overline{v}=\overline{0} $, lo que significa $ A\overline{v}=\overline{0} $. Claramente $ \overline{0} $ es enviado a $ \overline{0} $ pero algunos otros no-vector cero. De manera que la transformación no es inyectiva y, por lo tanto, no es invertible. Esto es sólo la intuición, aunque.

Answer 3

El valor absoluto del determinante de una matriz es el volumen del paralelepípedo generado por los vectores columna de la matriz.

Michael

Answer 4

Otra forma clásica es más comprensible: tenga en cuenta que un factor determinante no cambia si se agrega una fila a otra y de una columna a otra. Así, podemos obtener una matriz diagonal $B$. Esta matriz se diferencia de $A$ por la matriz de multiplicadores que corresponden a las transformaciones elementales y son invertible. Por lo $A$ es invertible iff $B$ es invertible iff $\det(B) \neq 0$ fib $\det(A) \neq 0$.

Answer 5

Yo personalmente creo que el determinante como una función de $f(A)$ que tiene las siguientes tres propiedades:

1. $f(AB) = f(A) f(B)$

2. $f(T)$ = producto de las diagonales para triangular la matriz de $T$

3. $f(E) \neq 0$ para la primaria de la matriz $E$

Una escuela primaria de la matriz $E$ es una matriz tal que $EA$, ya sea múltiplo de una fila, swaps de una fila, o swaps y agrega una fila de $A$.

Ahora la eliminación Gaussiana es el proceso de aplicación de la primaria matrices a $A$ y la obtención de una triangular superior de la matriz. Es decir, cada matriz se puede escribir como $$ A = (E_1 \cdots E_n)^{-1} T$$

Lo que significa que $$f(A) = f(E_1)^{-1} \cdots f(E_n)^{-1} f(T)$$ y es distinto de cero si y sólo si $f(T)$ es distinto de cero. Pero una matriz es invertible si y sólo si el gaussiano eliminado formulario de $T$ tiene cero elementos en la diagonal. Que es, exactamente, que $f(T) \neq 0$.

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En mi mente, cualquier otra de las definiciones de los determinantes, tales como la forma práctica de la computación con el complemento de las matrices y tal, no son "reales" o "primaria" de la definición del determinante. Queremos que el determinante de la función de satisfacer las tres propiedades. También probablemente desea que el determinante para ser un polinomio en las entradas de nuestra matriz. Esto entonces debe dar nosotros el método para calcular el determinante.