Método incorrecto para encontrar una asíntota inclinada

Question

Supongamos que queremos encontrar los inclinados a la asíntota de la gráfica de $\displaystyle y=\frac{x^2+x-6}{x+2}$.

Usando la división, tenemos $\displaystyle y=x-1-\frac{4}{x+2};\;$ $y=x-1$ es la asíntota inclinada.

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Me gustaría saber, sin embargo, lo que está mal con el siguiente incorrecta manera de encontrar la asíntota:

$\displaystyle y=\frac{x^2+x-6}{x+2}=\frac{x+1-\frac{6}{x}}{1+\frac{2}{x}}\approx\frac{x+1}{1}=x+1$, lo $y=x+1$ es la asíntota inclinada.

Answer 1

Por definición, la función de $f(x)$ tiene como una oblicua (inclinado) asíntota de la línea recta $y=\alpha x+\beta$ si: $$ \lim_{x\+\infty}\big(f(x)-(\alpha x+\beta)\big)=0 $$ o si: $$ \lim_{x\a\infty}\big(f(x)-(\alpha x+\beta)\big)=0 $$ Es fácil comprobar que, mientras que su resultado $y=x-1$ satisface la definición anterior, la línea de $y=x+1$ no, debido a que: $$ \lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(x+1)\big)=-2 $$ P. S.: Lo que realmente ha demostrado a través de su segundo argumento es que: $$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x+1}=1 $$ lo que es irrelevante a la noción de oblicuo (inclinado) asíntota.

Answer 2

El problema es que el numerador en $$\frac{x+1-\frac{6}{x}}{1+\frac{2}{x}}$$ estancias grandes, por lo que un pequeño error en el denominador se magnifica. Mejor escribir $$ \frac{1}{1+\frac{2}{x}} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} + \frac{16}{x^4} + \cdots $$ y multiplicaos; la serie infinita indicado converge para $|x| > 2.$

$$ \left( x+1-\frac{6}{x} \right) \left( 1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} + \frac{16}{x^4} + \cdots \right) = x - 1 - \frac{4}{x} + \frac{8}{x^2} + \cdots $$

Answer 3

El problema con el segundo enfoque es el que ha mantenido más precisión que su aproximación tiene, en realidad — se puede decir $y \approx x$, pero usted no tiene suficiente precisión para aclarar que, más específicamente, a $y \approx x+1$ (o cualquier otro traducir).

En más detalle,

$$ \frac{1}{1 + \frac{2}{x}} \approx 1 - \frac{2}{x} $$

y, en consecuencia,

$$ \frac{x+1-\frac{6}{x}}{1 + \frac{2}{x}} \aprox \left( x+1-\frac{6}{x} \right) \left(1 - \frac{2}{x} \right) \aprox x \cdot 1 + 1 \cdot 1 - x \cdot \frac{2}{x}$$

Por descuidar la $\frac{2}{x}$ término del denominador, el abandono de la $x \cdot \frac{2}{x}$ plazo de esta aproximación—, pero ese término es $-2$, por lo que está descuidando un nada despreciable cantidad!

Mantener el $\frac{2}{x}$ plazo en todo, por encima de la aproximación da $x-1$, como se desee.

Para más rigor, puede utilizar la notación big O:

$$\frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1 - \frac{2}{x} + O(x^{-2}) $$ $$ \frac{x+1-\frac{6}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \left( x+1+O(x^{-1}) \right) \left(1 - \frac{2}{x} + O(x^{-2}) \right) = x - 1 + O(x^{-1}) $$

Answer 4

$\frac{y}{x+1} \;\to\; 1$ cierto, pero:

$$y - (x+1) = \frac{x^2 + x - 6 - x^2 - 3 x - 3}{x+2} = \frac{-2 x - 9}{x+2} \quad \to \quad -2$$

cual es la razón por la pendiente de $x+1$ es correcta, pero su intercepción es $-2$.